Варианты заданий
1. Построить итерации для системы уравнений
.
2. Решить при помощи метода Ньютона – Рафсона системы уравнений:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
,
ж)
,
з)
,
и)
,
к)
Вопросы для самопроверки
1. Как проводится отделение корней при решении систем нелинейных уравнений?
2. Почему после одного шага по методу Ньютона-Рафсона мы не попадаем в решение, хотя рассчитывали из условия попадания в решение?
3. Отчего зависит скорость сходимости метода Ньютона-Рафсона?
4. Можно ли обеспечить сходимость метода итераций при решении систем нелинейных уравнений?
5. Каким образом можно повысить точность решения системы нелинейных уравнений?
6. Оказывает ли влияние на результат решения выбор начального приближения в методе итераций?
7. В чем основное отличие точных и приближенных методов решения систем линейных уравнений?
8. В каких случаях предпочтительны итерационные методы решения систем линейных уравнений?
9. Можно ли получить решение системы высокой размерности с погрешностью не хуже заданной?
10. Как влияет вычислительная ошибка на точность решения системы линейных уравнений методом итераций?
6. Численное интегрирование
Пусть f
(x)
— вещественная функция, определённая
на интервале [a,
b]
вещественной оси, для которой существует
интеграл Римана
Под численным
интегрированием понимают
нахождение приближённого значения
этого интеграла. Наиболее часто
применяемый численный метод интегрирования
состоит в том, что интеграл от φ заменяется
некоторой комбинацией значений φ
(
)
в n
+ 1 точках
называется
квадратурной формулой, коэффициенты
—
квадратурными коэффициентами (или
весами), абсциссы
—
узлами квадратурной формулы.
6.1.Квадратурные формулы, порожденные интерполяционными формулами
Пусть
—
различные точки [a,b],
служащие узлами интерполяции для
некоторой функции I
(x),
интерполирующей функцию f
(x):
f
(x)
= I
(x)
+ R
(x),
где R
(x)
— остаточный член. Предположим, что I
(x)
=
причём
все интегралы
вычисляются
точно.
Таким образом, получается квадратурная формула:
1
случай: n
= 1;
.
Функция f
(x)
интерполируется по формуле Лагранжа:
n = 2k - чётное
Поэтому
— формула трапеций
2
случай: n
= 2;
,
Интерполяционный многочлен таков:
После интегрирования:
—
формула Симпсона
(парабол)
При заданном
интервале интегрирования [a,
b]
квадратурные формулы обычно применяются
таким образом: сначала интервал
разбивается на n
интервалов длины
,
затем к каждому подынтервалу применяется
соответствующая формула.
Пусть
где i
= 0, 1, 2, 3, …, n
Для формулы трапеций:
Для формулы Симпсона предполагают, что n — чётное:
Ошибки:
Для формулы трапеций:
Для формулы Симпсона:
,
где n
= 2k
— чётное
6.2. Квадратурные формулы Гаусса
Формулы трапеций
и Симпсона используют равноотстоящие
узлы. Смысл квадратурных формул Гаусса
состоит в том, чтобы при наименьшем
возможном
числе узлов точно
интегрировать
многочлен
наивысшей
возможной
степени.
Можно показать, что при n
гауссовых узлах по полученной исходя
из них с помощью интерполирования
квадратурной формуле можно точно
интегрировать все многочлены степени
.
Составим квадратурную формулу с 2-мя
узлами, по которой точно интегрируются
многочлены
до 3-й степени
включительно.
Если
R
(f)
для
обращается
в нуль для любых
,
то
Приравняем
коэффициенты при
справа
и слева:
Откуда,
в силу симметрии,
Значит, искомая квадратурная формула Гаусса:
Приведём отрезок [a, b] к отрезку [-1, 1]
[a, b] → [0, 1] → [c, d] = [-1, 1]
1)
2)
3)
с = -1
d = + 1
Для
n
= 3:
