1.2. Усовершенствованный метод последовательный приближений
Рис.1.6
Метод итераций для хn и xn+1 дает:
f(xn-1) = xn; f(xn) = xn+1.
Откуда получаем для Δх:
∆x = xn-1 – xn = f(xn) - xn,
xn+1
= xn
+ ∆x,
лучше взять xn+1
= xn
+ d
∆x,
d>1,
чтобы быстрее
попасть в точку а. Имеем tg
=
,
что видно
из рис.6
Рис.1.7
С другой стороны, по теореме о среднем
tg
=
,
где
xn
-промежуточная
точка .
f'(
)
=
.
Вообщем, значение
-
неизвестно, но можно принять f'(
.
Геометрический процесс отыскания следующего приближения xn-1 сводится к тому, что проводится хорда через точки (xn, f(xn)) и (xn-1, f(xn-1)) и определяется точка ее пересечения с прямой y = x.
Сходимость:
1)
0<f'(x)<1
1<
<
поправки
∆x
малы, но 1<
<
увеличит
их и сходимость улучшится.
2) -1<f'(x)<0
п
оправки
велики, а
их уменьшит и метод сходится быстрее:
поправки уменьшаются на коэффициент
между
и 1.
3) Расходится
(в «классическом» методе итераций), если
f'(x)>1
Так как
,
то в усовершенствованном методе знаки
поправок изменяются нужным образом, и
граф поиска меняет направление.
4)
Расходится (в «классическом») если
f'(x)<-1,
так как
поправки велики. В данном случае
-
уменьшает поправки.
Рис.1.10
Каждая поправка умножается на коэффициент между 0 и и процесс расходится, медленнее. Описанная модификация метода итераций принадлежит Векштейну (1958 г).
1.3. Метод Ньютона-Рафсона
Уравнение имеет вид F(x) = 0. Запишем уравнение касательной к кривой F(x) в точке x0 из «геометнии» (рис. 11):
tg
= F'(x0)
=
y = F(x0) + F'(x0)(x-x0)
Пусть y
= 0
0 = F(x0)
+ F'(x0)(
x1-
x0),
откуда x1
= x0
-
,
x2=x1-
,
Продолжая процесс
построения последовательности
проводя
касательную к графику F(x)
в очередной точке xi,
получим
xn
= xn-1-
.
формула итераций
метода Ньютона –Рафсона. Сходимость
достигается при |xn-
xn-1
| <
, где m1
= min
|F'(x)|
на [
],
M2
= max
F''(x)
на [
].
x0
выбирается так, что F(x0)
· F''(x0)>0.
Здесь ε –наперед заданная погрешность.
Пример: Рассмотрим построение итерационных формул для извлечения корней 2 и 3 степеней числа на основе метода Ньютона – Рафсона.
.
;
;
;
N
= 2;
N
= 3;
Или
.
Рис. 1.11
Function func(x) 'объявление функции f(x)
func = Sin(x) - 2 * Log(x) 'функция
End Function 'конец объявления
Function f1(x) 'объявление функции f1(x)
f1 = -Cos(x) - 2 / x '1-ая производная функции
End Function 'конец объявления
Sub Newton_Raзson()
Dim x As Single ' х в рекурсии
Dim e As Single ' точность
Dim n As Integer ' счетчик итераций
Dim xpr As Single ' значение х на предыдущей итерации
x = CSng(InputBox("Введите начальное приближение", "Решение уравнений")) 'диалог запроса начального приближения
e = CSng(InputBox("Введите точность", "Решение уравнений")) 'диалог запроса точности измерения
n = 0 'присвоение параметру n значение 0
'------------------------ рекурсивное вычисление ---------
Do
'начало цикла
n = n + 1
'увеличение значения n на 1
xpr = x
'переприсвоение значений, присваиваем х предид. значение полученного х
x = x - (func(x) / f1(x))
'вычисление значения х
Loop Until Abs(x - xpr) < e 'условие цикла
c = MsgBox("Корень равен " + CStr(x), 0, "Решение уравнений")
'вывод сообщения на экран
c = MsgBox("точность достигнута за " + CStr(n) + " итераций", 0, "Решение уравнений")
'вывод сообщения на экран
'----------------------------- вывод точки корня ----------
Worksheets(1).Cells(3, 1).Value = x
'вывод на лист 1 значение искомого х
Worksheets(1).Cells(4, 1).Value = func(x)
'вывод на лист 1 значение функции, соответствующее искомому х
'------------------- построение графика ----------
x = x - 1.5
'определяем значение с которого начинаем просчитывать х
For i = 1 To 200
'начало цикла
x = x + 0.03
'шаг, с которым просчитываем х
Worksheets(1).Cells(1, i).Value = x
'вывод на лист 1 значение иксов
Worksheets(1).Cells(2, i).Value = func(x)
'вывод на лист 1 значение функции в заданных иксах
Next i
'конец цикла
End Sub 'конец программы