Общие методы решения задач.
Существует 3 метода решения задач устойчивости:
динамический
энергетический
статический
Процесс потери устойчивости обязательно происходит во времени, потому наиболее естественно рассматривать его как некоторый динамический процесс. Исследуя поведение системы при воздействии на нее малого возмущения, мы можем определить закон ее движения и конечное состояние системы. Это позволяет оценить ее устойчивость, однако, во многих случаях приводит к очень громоздким выкладкам, поэтому динамический метод используют довольно редко.
При решении задачи устойчивости, как правило, принимают следующие основные допущения:
Упругие системы – консервативны, т.е. системы состоят из упругих тел, которые закреплены в пространстве с помощью идеальных связей и нагружены консервативными силами.
Консервативные силы – это те, работа которых зависит только от начального и конечного положения точки приложения силы, а для упругого тела соответственно от начальной и конечной формы тела, но не зависит от траектории движения или истории нагружения.
Идеальные связи – это такие, которые не совершают работы ни на одном из возможных перемещений.
При использовании этих допущений оценку равновесия можно выполнить на основе теоремы Лагранжа, которая иногда называется как принцип минимума потенциальной энергии:
В положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение, причем равновесие устойчиво тогда и только тогда, когда это стационарное значение есть минимум.
При оценке вида равновесия очень важна точность, с которой определяется полная энергия и вычисляются ее производные. Обычный прием, когда отбрасываются бесконечно малые высокого порядка, во многих случаях не позволяет оценить устойчивость. Иногда это практически важно, иногда это скорее вопрос теории.
Наконец, из определения устойчивости следует, что если нагруженная система не устойчива, то после малого возмущения она не вернется в исходное состояние, а, следовательно, при этой нагрузке существует другая форма равновесия, в которой система осталась после возмущения. Следовательно, можно оценить устойчивость системы, исследуя возможность существования смежной формы равновесия и определяя при каких нагрузках такая форма равновесия появляется. Это статический метод.
Проиллюстрировать характер равновесия можно на известных примерах равновесия шарика на поверхностях разной формы (рис.2).
К лассы задач устойчивости.
Задачи потери устойчивости очень разнообразны. Обычно их сводят к одному из пяти классов:
Появление смежной, качественно новой формы равновесия (рис.3).
После достижения нагрузкой предельной величины, прямолинейный стержень изгибается, т.е. переходит к новой форме равновесия. При малом превышении критической нагрузки, изгибные деформации и перемещения стержня могут быть весьма малы. Это позволяет говорить о новой, но близкой к первоначальной форме равновесия – смежной форме.
Появление несмежной формы равновесия (рис. 4).
При нагружении сферической мембраны внешним давлением при некоторой нагрузке появляется вмятина с обратной кривизной. Это новая форма равновесия, но она не может существовать при бесконечно малых перемещениях, и поэтому не является смежной формой равновесия.
Исчезновение устойчивой формы равновесия
Если направление силы меняется вслед за поворотом конца стержня (так называемая следящая сила) то после достижения предельной нагрузки после малого отклонения от положения равновесия начинается колебательный или апериодический динамический процесс.
Полная потеря любых форм равновесия (в том числе и равновесных) рис.6
Е
сли
рассматривать стержень из реального
пластичного материала, то после превышения
критической нагрузки стержень изгибается,
причем изгиб сопровождается значительными
перемещениями и напряжениями. После
достижения напряжениями предела
текучести начинается необратимая
деформация стержня, причем равновесия
больше не существует.
Появление в системе недопустимо больших скоростей деформации, если материал обладает свойством ползучести
Кроме того в практических расчетах о потере устойчивости говорят и при понижении жесткости системы ниже какого-то предельного уровня.
При потере устойчивости иногда говорят о достижении системой точки бифуркации (раздвоения формы).
Точка бифуркации I-го рода соответствует появлению новой формы равновесия.
Точка бифуркации II-го рода – точка, в которой устойчивое положение сменяется неустойчивым.
В качестве примера рассмотрим поведение систем с конечным числом степеней свободы.
Пример 1
Абсолютно жесткий стержень длиной l шарнирно закреплен в нижней точке и связан с пружиной, с угловой жесткостью C. На верхнем конце стержня приложена сила, направленная вертикально вниз. Исследовать устойчивость системы (см. рис. 7).