Свободно стоящий стержень (рис.20).

Р ешение дифференциального уравнения то же, но краевые условия нужно записывать для деформированного состояния. В этом случае на нижнем конце стержня прогиб и угол поворота равны нулю, а на свободном конце стержня изгибающий момент отсутствует, а поперечная сила равна проекции внешней силы на нормаль к деформированной оси стержня.

Записывая краевые условия, получим:

Решая систему уравнений, найдем:

.

Исключая тривиальное решение B=0, найдем:

Стержень, защемленный с двух концов

О бщий подход к решению тот же, краевые условия имеют вид:

Исключая из уравнений C и D , получим:

Рис. 21

Нетривиальное решение возможно, если определитель системы равен 0.

Возможно два решения. Первое решение -

Второе решение -

Выбирая из двух решений меньшее значение, получим:

Стержень, с одним защемленным концом и шарнирной опорой на другом.

К раевые условия для такого стержня имеют вид:

Исключаем две константы и записываем выражение для определителя. Разрешающее уравнение имеет вид:

Аналитического решения для такого уравнения не существует. Очевидно, что значение k=0 является решением уравнения, но это значение нас не устраивает, поскольку соответствует исходной прямолинейной форме равновесия с нулевой нагрузкой.

Г рафики левой и правой частей уравнения приведены на рис 22. Наименьшее значение корня

Решения для стержней с различными краевыми условия могут быть сведены к единой формуле:

- длина стержня

- приведенная длина стержня

- коэффициент приведения - показывает, что стержень длиной с данными условиями закрепления в плане потери устойчивости эквивалентен шарнирно опертому стержню длиной .

Можно от критических сил перейти к критическим напряжениям.

F-площадь сечения стержня

Для некоторых приложений полезно ввести дополнительный параметр. Введем

 радиус инерции сечения стержня

 гибкость стержня.

Формулы Эйлера применимы до тех пор, пока напряжения не превышают предела пропорциональности. . Отсюда можно получить предельные значения гибкости , при которых формулы Эйлера справедливы. Для стали Ст3 =200 Мпа, , для алюминиевых сплавов .

Работа стержня в закритической области.

Предположим, что нагрузка, действующая на какой-либо стержневой элемент конструкции, превысила критическую силу. В большинстве реальных случаев это приводит к появлению пластических деформаций, и задача перестает быть упругой, в исходное состояние стержень после снятия нагрузки не вернется. Исследования в этом случае должны вестись совсем другими методами. Однако для очень гибких стержней потеря устойчивости не обязательно приводит к высоким напряжениям, такую задачу можно решать, но решать как геометрически нелинейную.

Р ассмотрим стержень, защемленный одним концом и загруженный силой на свободном конце (рис. 23)

Из теории стержней известно, что , но кривизну стержня для больших прогибов необходимо вычислять точно. Тогда:

Из уравнений статики . Введем новую переменную , для нее получим дифференциальное уравнение:

, с краевыми условиями .

Это уравнение можно один раз проинтегрировать и найти одну константу из краевых условий.

.

Из этого равенства можно выразить производную

Интегрировать это выражение можно, но трудно найти пределы интегрирования, поскольку при больших прогибах положение стержня относительно осей координат не определено, но длина стержня при изгибе не меняется, а изменением длины при сжатии мы пренебрегаем. Перейдем к координатам по длине стержня.

Введем переменные φ и θ , так, чтобы

Тогда интеграл в последнем равенстве примет вид:

и его проинтегрировать:

Это полный эллиптический интеграл первого рода, его можно вычислить, для него есть готовые таблицы. Это позволяет вычислить прогиб и соответствующую нагрузку, которые можно изобразить следующим графиком (рис. 24)

По графику можно установить, что наибольшее отклонение конца стержня от вертикали равно 0.806 l при этом сила превышает критическую в 1,75 раза. Начальный участок кривой можно аппроксимировать параболой (для этого можно использовать приближенное значение интеграла, полученной суммой первых слагаемых степенного ряда). Это упрощает вычисления при малых отклонениях, и можно легко вычислить некоторые промежуточные значения. Так, если нагрузка превышает критическую силу на 1%, то отклонение конца стержня составляет 0,18 l.

Рис. 24