Работа стержня в упругопластической стадии.

Экспериментальные исследования, выполненные для стержней с минимальным количеством дефектов, хорошо согласуются с расчетами. Для гибких стержней (длинных и тонких) основной причиной, ограничивающей несущую способность является именно потеря устойчивости. Однако для стержней коротких и массивных критические напряжения по Эйлеру оказываются выше, чем предел пропорциональности материала (а иногда и предела текучести), где решение Эйлера не применимо. Для таких стержней теория плохо согласуется с экспериментом, а сами экспериментальные исследования дают большое рассеивание результатов, что говорит о наличии каких-то факторов, не учитываемых при проведении экспериментов. Такими факторами являются значительное рассеивание величины предела текучести, степени упрочнения, наличие внутренних напряжений в процессе обработки и т.п. Общая картина может быть охарактеризована рис. 34, где отмечено положение точек, наблюдаемых при экспериментах.

О чевидно, что предельный уровень напряжений в стержне не может превышать предела текучести для пластичных материалов и предела прочности для хрупких материалов, а при повышении гибкости стержня должен ограничиваться пределом устойчивости по Эйлеру.

По Эйлеру критические напряжения равны . Для малых значений гибкости стержня предложено много методик, смысл которых как-нибудь согласовать кривую Эйлера с пределом текучести (прочности), обеспечив непрерывную кривую предельных (критических) нагрузок.

Линейная формула. Критические напряжения определяют уравнением , параметры которого дают прямую от точки, соответствующей пределу пропорциональности (границе применимости кривой Эйлера) к точке на оси ординат со значением напряжений равным пределу текучести. Формула такого типа была предложена Ясинским Ф.С. и Тетмайером.

Гиперболическая формула. Критические напряжения определяют зависимостью , где и α эмпирические коэффициенты.

Параболическая формула. Принимают, что .Подбирая коэффициенты можно обеспечить плавный переход от гиперболы Эйлера к параболе, ограниченной пределом текучести.

Во всех этих формулах коэффициенты зачастую подбирают из статистической обработки экспериментальных данных.

Несколько иной подход принят в формуле суммирования опасностей. Принимают, что при действии критических напряжений суммарный запас по текучести и устойчивости равен 1.

. Здесь . Формула охватывает как упругую, так и упругопластическую области.

Хорошее соответствие с экспериментами дает формула . Подобные формулы имеются в отраслевых нормативных документах. Так в вагоностроении рекомендуется оценивать устойчивость по формуле:

, где

Численные методы решения

Аналитические методы решения задачи устойчивости решают далеко не все задачи. При сложной схеме нагрузки, стержнях переменной жесткости и т.п. аналитическое решение либо неизвестно, либо трудоемкость его поиска слишком велика. В этом случае решение (как правило приближенное) может быть найдено численным методом.

Численные методы можно разделить на несколько групп. В первую группу следует отнести метод конечных разностей, который точное (с точки зрения используемых гипотез) дифференциальное уравнение сводит к приближенному уравнению, и находит его точное решение. К другой группе относятся вариационные методы, в которых приближенно решается точное исходное уравнение.