С татический метод:

Начальная форма равновесия – вертикальное положение стержня.

Выберем смежную форму равновесия – стержень отклонен на угол φ. Уравнение равновесия – сумма моментов вокруг точки А.

Решая уравнение относительно P, получим . Это выражение определяет величину силы, при которой обеспечивается равновесие системы. Проанализируем его при разных значениях угла φ и величины силы P.

Е



сли угол φ равен 0, то значение силы может быть любым. Если угол мал, но не равен 0, то значение силы P определяется выражением . Минимальное значение силы равно , при этом угол φ стремится к 0.

Построим график зависимости силы от угла (рис. 8). При силе меньшей критической равновесие устойчиво, дальше форм равновесия две, какая из них устойчива сказать нельзя.

Точка А – точка бифуркации I рода.

Энергетический метод:

Запишем выражение для полной энергии системы. В него войдет выражение для потенциальной энергии пружины и выражение для потенциала силы P.

Найдем производную , и приравняем ее 0. . Отсюда найдем P.

Найденное значение соответствует экстремуму полной энергии системы, т.е. положению равновесия. Для оценки устойчивости нужно определить какой из экстремумов мы имеем. Для этого исследуем вторую производную и исследуем ее знак.

Если φ = 0 и , первая производная растет и равновесие устойчивое. - равновесие неустойчивое

Если φ ≠ 0 но мало, то:

- устойчивое

Динамический метод:

Заранее предположим, что система находится в движении, следовательно, есть скорость и ускорение . Запишем уравнение движения:

Решение этого дифференциального уравнения зависит от знака выражения при φ.

Если то уравнение можно записать в виде , а его решение имеет вид , что соответствует гармоническим колебаниям и говорит об устойчивости начальной формы равновесия.

Если , то уравнение примет вид , а его решение ,

И, наконец, если , то уравнение принимает вид , а его решение . Последние случаи приводят к апериодическому движению, что говорит о неустойчивости формы равновесия.

П ример 2:

Используем статический метод

Сумма моментов относительно точки А:

Это условие равновесия. Исследуем его.

1. Если при этом величина силы может быть любой.

2. φ ≠ 0, тогда

Д иаграмма состояния (рис.10) имеет вид набора вертикальных прямых линий и косинусоиды.

Для исследования устойчивости воспользуемся энергетическим методом, для чего найдем и исследуем величину полной потенциальной энергии системы.

Рис.10

Полная потенциальная энергия системы и ее производные равны:

Равновесие устойчиво, если вторая производная >0. При P<cl исходная форма равновесия устойчива.

Е сли φ ≠ 0, то подставим в выражение для потенциальной энергии значение силы из условия равновесия и исследуем вторую производную (график ниже рис.11).

Рис. 11.

К ак видно из графика она всюду не положительна и в точках равна 0. Это говорит о том, что во всех точках, где φ ≠ 0, равновесие неустойчивое, но это не дает ответа на вопрос об устойчивости при φ = nπ. Если построить график потенциальной энергии (рис.12), то хорошо видно, что при P<cl (график слева) вторая производная больше 0 и равновесие устойчиво. Если при P>cl (график справа), то устойчивое равновесие только при φ = 2(n+1)π.

Рис. 12.

При достижении критической нагрузки стержень не имеет смежных форм устойчивого равновесия и скачком переходит в несмежное с исходным равновесное состояние. При этом на диаграмме состояния можно отметить две критических нагрузки.

- верхняя критическая нагрузка.

- нижняя критическая нагрузка

При увеличении нагрузки до уровня верхней критической силы система скачком переходит в новое несмежное положение равновесия. При уменьшении нагрузки ниже уровня нижней критической силы система скачком возвращается в исходное положение.