Влияние несовершенств стержня на потерю устойчивости. Учет начальной погиби.

Р ассмотрим стержень, имеющий изначально неидеальную форму, загруженный продольной силой. При составлении дифференциального уравнения изгиба необходимо учесть, что момент создается силой на полном плече v₁(x), а изгибающий момент в сечении стержня (внутренний силовой фактор) определяется деформациями, вызванными только дополнительными перемещениями v(x). Тогда:

где

Обозначим, как обычно, и получим:

Для простоты примем, что стержень свободно оперт по концам и его начальная форма описывается уравнением

Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид дополнительный прогиб под нагрузкой

Можно построить серю графиков f(P) для различных значений f₀ (рис. 26)

Н а этих графиках f₁<f₂<f_3. Характерной особенностью является то, что при приложении нагрузки к идеальному стержню мы имее две формы равновесия. До достижения критической силы ось стержня остается идеально прямой, а затем появляется изгиб, причем прогибы резко возрастают- т.е. можно наблюдать бифуркацию. Для стержня с начальной погибью прогибы растут по мере увеличения нагрузки, причем чем больше начальная погибь, тем больше прогибы при одной и той же нагрузке. Точки бифуркации нет. При возрастании значения силы до критической по Эйлеру прогибы стремятся к бесконечности.

Учет эксцентриситета приложения нагрузки.

Рассмотрим стержень, для которого линия действия продольной сжимающей силы не проходит через центр тяжести сечения, т.е. имеется эксцентричная нагрузка (рис. 27).

Д ифференциальное уравнение примет вид

.

Обозначим, как и в других случаях, и получим:

Общее решение уравнения имеет вид:

Примем условия свободного опирания по концам стержня и определим константы:

С учетом найденных констант уравнения упругой оси имеет вид:

, а максимальный прогиб по середине длины стержня

М ожно построить графики, как и в предыдущем случае (рис. 28). Характер деформации аналогичен нагружению стержня с начальной погибью.

Учет поперечной нагрузки и/или собственного веса.

Рассмотрим балку на двух опорах, к которой приложена сжимающая сила P и распределенная нагрузка q. Уравнения изгиба можно записать:

Обозначим, как и ранее , и получим

Решение дифференциального уравнения:

Общее решение v₀:

Частное решение будем искать в виде полинома такого же вида, как и полином в правой части:

Полное решение уравнения имеет вид:

.

Запишем краевые условия (прогиб на концах стержня равен 0) и найдем константы

Введем понятие стрелы прогиба прогиб в середине стержня:

Построим графики зависимости прогиба от величины сжимающей силы при различных значениях q (рис. 30). Характер поведения стержня такой же, как и в двух ранее рассмотренных случаях.

Потеря устойчивости неидеального стержня происходит в форме постоянно возрастающих прогибов с увеличением сжимающих сил. Безизгибной формы равновесия для таких стержней не существует. Предельной величиной нагрузки является критическая сила по Эйлеру при которой прогибы стремятся к бесконечности, однако реальная критическая нагрузки ниже, причем чем сильнее “дефект” тем ниже предельная сила. Для малых “дефектов” снижение критических нагрузок по сравнению с идеальным стержнем невелико. Исследование потери устойчивости таких стержней с учетом реальной величины “дефектов” должно проводиться на основе решения геометрически нелинейной задачи для стержня с реально существующим “дефектом” при постоянно возрастающей нагрузке. Решение о допустимой величине нагрузке должно приниматься на основе построенной диаграммы зависимости перемещений от величины силы.