Устойчивость деформируемых стержней. Точное решение. Задача Эйлера

При рассмотрении задачи об устойчивости стержня обычно принимают следующие допущения:

1. Ось ненагруженного стержня идеально прямая и все внешние силы действуют точно вдоль оси.

2. Изменения геометрических размеров в процессе нагружения отсутствуют.

3. Изгиб рассматривается с помощью линейной теории стержней.

Рассмотрим простейший случай. Стержень шарнирно оперт по концам и загружен сжимающей продольной силой. Будем решать задачу статическим методом, поэтому предположим, что при достижении сжимающей силой некоторой предельной величины стержень теряет устойчивость и изгибается. Рассмотрим новое состояние равновесия.

И згибающий момент в сечении стержня

Из теории стержней известно, что изгибающий момент в сечении связан с кривизной упругой оси стержня.

Приравнивая моменты из двух равенств, получим:

, где .

Имеем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристический полином . Переходя от комплексных корней к действительным (по формуле Эйлера) получим общее решение в виде:

.

Для определения констант запишем краевые условия:

;

.

Последнее равенство возможно в двух случаях: либо A=0, но тогда перемещения стержня равны 0 и имеем исходную форму равновесия; либо . Тогда:

и

Имеем несколько значений силы P, которые обеспечивают равновесие, каждое значение соответствует своей форме потери устойчивости, характеризуемой числом полуволн n. Выбираем низшую форму с минимальным значением силы

Другие варианты закрепления стержней.

При различных вариантах закрепления стержня краевые условия могут относиться к прогибу, углу поворота, моменту или поперечной силе. Эти величины связаны с функцией прогиба и ее производными до 3-ей включительно. Однако рассмотренное уравнение - дифференциальное уравнение второго порядка, и его краевые условия могут относиться только к прогибу и углу поворота.

Д ля большей свободы в выборе краевых условий необходимо повысить порядок дифференциального уравнения. Это можно сделать простым дифференцированием, а можно вспомнить, что в курсе “Сопротивления материалов” уравнение изгиба записывалось в форме , и попытаться ввести условную поперечную нагрузку. Для этого рассмотрим отрезок сжатого стержня (см. рис. 18). На концах отрезка действуют сжимающие силы P, а концы стержня повернуты на углы θ и θ́. Найдем равнодействующую сил P на ось Y и заменим ее распределенной нагрузкой. Тогда:

Дифференциальное уравнение упругой оси в этом случае примет вид:

Для решения уравнения составим характеристический полином и найдем его корни.

Решение примет вид:

Значения констант A, B, C, D должны быть определены из граничных условий.

Рассмотрим несколько важных случаев.

Стержень, шарнирно опертый по концам.(рис.19)

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

При шарнирных опорах на концах стержня прогиб равен 0, изгибающий момент отсутствует. Можно записать:

Из краевых условий при x=0 имеем:

На другом краю краевые условия сведутся к системе двух уравнений.

Ненулевое решение возможно, если .

Значение силы в положении равновесия , выбирая минимальное значение, получим для n=1 . В общем случае стержень может терять устойчивость в двух плоскостях, поэтому нужно брать минимальный момент инерции.