Программный вывод:
Код программы:
program asd_L5;
function Fpr(e:real):real; begin Fpr:=3*e*e-10*e+1; end;
function F(e:real):real; begin F:=e*e*e-5*e*e+e-3.2; end;
procedure UhK(x,b:real);
var fx,epsilon,n:real;
begin
writeln('poisk in x = ',x:2:1,';');
n:=0;
epsilon:=0.0001;
fx:=F(x);
while(abs(fx)>epsilon)do begin
x:=b+F(b)/(F(x)-F(b))*(x-f(b));
fx:=F(x);
b:=b-f(b)/Fpr(b);
n:=n+1;
end;
writeln('naiden koren: ',(x+b)/2:2:9);
writeln('chislo iteracii = ',n:2:0,'; epsilon = ', epsilon:9:9);
writeln;
end;
var f1:real;
i:integer;
begin
writeln('poisk diapazonov korney:...');
f1:=F(-4);
for i:=-4 to 5 do begin
if(f1*f(i)<0) then begin
f1:=f(i);
writeln('naiden diapazon: [', i-1, '; ',i, '];');
UhK(i-1,i);
end;
end;
writeln('exit:..');
readln;
end.
Схема выполнения метода:
Лабораторная работа № 6
Тема: Решение системы линейных уравнений методом итерации и методом Зейделя.
Задание:
Решить систему линейных уравнений методом итерации и методом Зейделя с точностью ;
Найти погрешности полученных приближенных решений;
Сравнить полученные приближенные решения и их погрешности.
Решение:
Так как определитель системы
,
то система имеет единственное решение.
Решим систему уравнений методом итераций и Зейделя.
Так как определитель системы
,
то система имеет единственное решение.
Приведем данную систему к виду
,
где
,
.
решение будем искать в виде итерационной
последовательности
,
,
.
Найдем канонические нормы матрицы.
.
Mathcad
Professional :
Минимальной нормой является норма
.
Поэтому все действия будем производить
по этой норме. Итерационный процесс
будем продолжать до тех пор, пока не
будет выполняться условие
,
.
А) По методу итерации получим (разработки учебника Богданова М.В.)
.
Определим число верных знаков в
приближенном значении решения. Так как
,
то получим
с
погрешностью округления
.
Тогда
.
Определим число верных знаков в
приближенном решении
.
Так как
,
,
то получим приближенное решение
,
с погрешностью
.
Ответ: , .
Б) По методу Зейделя получим (разработки учебника Богданова М.В.)
Определим число верных знаков в
приближенном значении решения. Так как
,
то получим с погрешностью округления
.
Тогда
.
Определим число верных знаков в
приближенном решении
.
Так как
,
,
то получим приближенное решение
,
с погрешностью
.
Ответ: , .
Код программы: метод итерации
{--- Решение систем линейных уравнений методом итераций ---}
Program sistema_iter_Asd_L6;
Uses Crt;
Const N=3; EPS=0.5*1e-3;
Type
Vec=array[1..N] of Extended;
Mas=Array[1..N,1..N] of Extended;
Var
i,j,k,it,m:Byte;
Nor_L,Nor_M,Nor_K,
Norma_X,Min_Nor:Extended;
s,Pogr:Extended;
a,a1:Mas;
b,b1,y,x:Vec;
{------- приведение к виду x=b+ax ------}
Procedure Pived(aa1:Mas; bb1:Vec; Var aa:Mas; Var bb:Vec);
Var
ii,jj:Byte;
Begin
For ii:=1 to N do
For jj:=1 to N do
Begin
If ii=jj
Then aa[ii,jj]:=0
Else aa[ii,jj]:=-aa1[ii,jj]/aa1[ii,ii];
End;
For ii:=1 to N do
bb[ii]:=bb1[ii]/aa1[ii,ii];
End;
{------- норма матрицы по L ---------}
Function Norma_L(aa:Mas):Extended;
Var
ii,jj:Byte;
Norma,ss:Extended;
Begin
Norma:=Abs(aa[1,1]);
For ii:=1 to N do
Begin
ss:=0;
For jj:=1 to N do
ss:=ss+Abs(aa[ii,jj]);
If Norma<ss
Then
Norma:=ss;
End;
Norma_L:=Norma
End;
{----- норма матрицы по M -------}
Function Norma_M(aa:Mas):Extended;
Var
ii,jj:Byte;
Norma,ss:Extended;
Begin
Norma:=Abs(aa[1,1]);
For jj:=1 to N do
Begin
ss:=0;
For ii:=1 to N do
ss:=ss+Abs(aa[ii,jj]);
If Norma<ss
Then Norma:=ss;
End;
Norma_M:=Norma
End;
{--------- норма матрицы по K -----------}
Function Norma_K(aa:Mas):Extended;
Var
ii,jj:Byte;
Norma:Extended;
Begin
Norma:=0;
For ii:=1 to N do
For jj:=1 to N do
Norma:=Norma+Sqr(aa[ii,jj]);
Norma_K:=Sqrt(Norma);
End;
{--------- минимум из трех ----------}
Procedure Min3(aa,bb,cc:Extended; Var min_3:Extended;Var kk:Byte);
Begin
If aa<bb
Then
If aa<cc
Then
Begin min_3:=aa; kk:=1 End
Else
Begin min_3:=cc; kk:=3 End
Else
If bb<cc
Then
Begin min_3:=bb; kk:=2 End
Else
Begin min_3:=cc; kk:=3 End;
End;
{----- норма вектора -------}
Function Norma_V(aa:Vec; kk:Byte):Extended;
Var
ii,jj:Byte;
Norma,ss:Extended;
Begin
Case kk of
1: Begin
Norma:=Abs(aa[1]);
For ii:=2 to N do
If Norma<Abs(aa[ii])
Then Norma:=Abs(aa[ii]);
End;
2: Begin
Norma:=0;
For ii:=1 to N do
Norma:=Norma+Abs(aa[ii]);
End;
3: Begin
Norma:=0;
For ii:=1 to N do
Norma:=Norma+Sqr(aa[ii]);
Norma:=Sqrt(Norma);
End;
End;{Case}
Norma_V:=Norma
End;
{*************************}
Begin
ClrScr;
{--- ввод элементов матрицы ----}
WriteLn('введите элементы матрицы’);
For i:=1 to N do
Begin
For j:=1 to N do
Begin
Write('a[',i,' ',j,'] = ');ReadLn(a1[i,j]);
End;
Write('b[',i:2,' ] = ');Readln(b1[i]);
Writeln;
End;
{--- приведение матрицы ---}
Pived(a1,b1,a,b);
for i:=1 to N do
Begin
for j:=1 to N do
Write(a[i,j]:8:3);
Write(' ',b[i]:8:3);
WriteLn
End;
{'определение минимальной нормы-'}
Nor_L:=Norma_L(a);
Nor_M:=Norma_m(a);
Nor_K:=Norma_k(a);
Min3(Nor_L,Nor_M,Nor_K,Min_Nor,k);
WriteLn('Nor_L =',nor_L:7:4,' Nor_M =',nor_m:7:4,' Nor_K =',nor_k:7:4);
WriteLn('Min_Nor =',min_nor:7:4,' k =',k:2);
{'—итерационное вычисление решения систем уравнений --'}
Pogr:=(1-Min_Nor)/Min_Nor*EPS;
it:=0;
For i:=1 to N do
x[i]:=b[i];
Repeat
For i:=1 to N do
Begin
it:=it+1;
y[i]:=x[i];
s:=0;
For j:=1 to N do
s:=s+a[i,j]*x[j];
x[i]:=b[i]+s;
y[i]:=y[i]-x[i];
End;
Norma_X:=Norma_V(y,k);
Until Norma_X<Pogr;
WriteLn('решение систем уравнений методом итераций');
For i:=1 to N do
Begin
WriteLn(' x[',i:2,' ] = ',x[i]:11:8);
End;
WriteLn('—число итераций= ',it:3,' --- погрешность= ',Pogr:11:8);
WriteLn('*****************************');
ReadLn;
End.