Основы электродинамики.

Закон Кулона F=

где

q_{1 и} q₂ – величины точечных зарядов,

ε_o – электрическая постоянная,

ε –диэлектрическая проницаемость

среды,

r- расстояние между зарядами

Напряженность электрического

поля

Напряженность поля:

точечного заряда Е=

бесконечно длинной заряженной нити Е=

Равномерно заряженной бесконечной плоскости

Е=

между двумя разноименно

зяряженными бесконечными

плоскостями

где Е=

τ-линейная плотность заряда,

σ –поверхностная плотность заряда,

r- расстояние до источника поля.

Электрическое смещение

Работа перемещения заряда в

электростатическом поле

где

φ₁ и φ₂ – потенциалы начальной

и конечной точек.

Потенциал поля точечного

заряда

φ=

Связь между потенциалом и

напряженностью

Е₁=

Сила притяжения между двумя

разноименно заряженными

обкладками конденсатора

где F=

S- площадь пластин

Электроемкость:

уединенного проводника С=

плоского конденсатора С=

слоистого конденсатора С=

где

d- расстояние между пластинами

конденсатора;

d_i – толщина i-го слоя диэлектрика;

ε_i – его диэлектрическая

проницаемость.

Электроемкость батареи

конденсаторов, соединенных:

параллельно

последовательно

Энергия поля:

заряженного проводника W_э=

заряженного конденсатора W_э=

где

V- объем конденсатора

Объемная плотность энергии

электрического поля

w_э=

Сила тока I=

Закон Ома:

в дифференциальной форме

в интегральной форме I=

где

γ - удельная проводимость;

ρ- удельное сопротивление;

U- напряжение на концах цепи,

R- сопротивление цепи,

j - плотность тока.

Закон Джоуля-Ленца:

в дифференциальной форме

в интегральной форме dQ=IUdt= =I²Rdt.

Сопротивление однородного

проводника

где R=

l-длина проводника,

S- площадь его поперечного сечения.

Зависимость удельного

сопротивления от температуры ρ= ρ_о(1+αt)

где

α- температурный коэффициент

сопротивления,

t - температура по шкале Цельсия.

Cила Лоренца

где

v- скорость заряда q,

В- индукция магнитного поля.

Сила Ампера

где

I - сила тока в проводнике,

dl- элемент длины проводника.

Магнитный момент контура

с током

где

S – площадь контура,

n-единичный вектор нормали

к поверхности контура

Механический момент,

действующий на контур с

током в магнитном поле

Закон Био-Савара-Лапласа

где

μ_о- магнитная постоянная,

μ - магнитная проницаемость среды

dl- элемент длины проводника.

Магнитная индукция:

в центре кругового тока В=

поля бесконечно длинного прямого

тока

В=

поля бесконечно длинного

соленоида В=μ_оμnI

где

R – радиус кругового тока,

r- кратчайшее расстояние до

оси проводника,

n- число витков на единицу

длины соленоида,

Сила взаимодействия двух

прямолинейных бесконечно

длинных параллельных токов

на единицу их длины

где

r- расстояние между токами I₁ и I₂

Работа по перемещению контура

с током в магнитном поле

где

Ф- магнитный поток через поверхность

контура

Магнитный поток однородного

магнитного поля через площадку S

где Ф=

α – угол между вектором В и

нормалью к площадке;

- внешняя нормаль к площадке.

Закон электромагнитной индукции ε_i=

где

N- число витков контура.

Потокосцепление контура с током Ψ=LI

где

L- индуктивность контура.

Электродвижущая сила

самоиндукции

ε_s=

Индуктивность соленоида L= μ_оμn²V

где

V- объем соленоида

n- число витков на единицу длины

соленоида

Правила Кирхгофа ,

где

ε- ЭДС источников тока.

Энергия магнитного поля W_м=

Объемная плотность энергии

магнитного поля

w_м=

2.1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Физические основы механики.

1. Движение тела массой lкг задано уравнением . Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.

Дано: m=1кг,

Найти: υ(t), a(t), F.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по вре­мени:

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma, где а, согласно условию задачи,— ускорение в конце второй секунды. Тогда

Ответ:

2. Стержень длиной 1м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8с. Какой покажется наблюдателю его длина?

Дано: =1м, υ=0,8с

Найти: .

Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистс­кой механике выражается формулой

(1)

где l₀— длина покоящегося стержня; υ— скорость его движения; с— скорость света в вакууме. Подставляя в формулу (1) чис­ловые значения, имеем

Ответ: l= 0,6м.

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) υ=0,5с и и=0,75с; 2) υ=с и u=0,75с. Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.

Дано: 1) υ=0,5c, u=0,75с; 2) υ=c, u=0,75с.

Найти: u′₁; u′₂

Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории от­носительности,

где υ, и — скорости соответственно первой и второй частиц;

u′ — их относительная скорость; с — скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:

Это означает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ: u′₁=0,91с; u′₂=с

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8м, подвеше­ны два свинцовых шара массами 0,5 и 1кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α=60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать цент­ральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано: m₁=0,5кг, m₂=1кг, α= 60°, l=0,8м.

Найти: h₁; ∆E_g

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью υ. Закон сохранения импульса при этом ударе имеет вид

(1)

Здесь υ₁ и υ₂ — скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю (υ₂=0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α ему сообщается по­тенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: m₁gh₁=m₁υ₁²/2. Таким образом,

h₁=l(1—cosα) = 2lsin² (α/2), по­этому

(2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

(3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

(4)

где h— высота поднятия шаров после столкновения. Из форму­лы (4) находим h=υ²/(2g), или с учетом (3),

h=2 (0,5кг)² • 0,8 м • 0,25/(0,5 кг+1 кг)=0,044 м.

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью ки­нетических энергий до и после удара:

Используя уравнения (2) и (3), получаем

∆E_g=2•9,81м/с²•0,8м•0,5кг(1-0,5кг/1,5кг)•0,25=1,3Дж.

Ответ: h=0,044м, ∆E_g=1,3Дж.

5. Молот массой 70кг падает с высоты 5м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Си­стему молот — изделие — наковальня считать замкнутой.

Дано: m₁=70кг, h=5м, m₂=1330кг.

Найти: E_g.

Решение. По условию задачи, система молот — изделие — наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основа­нии закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вер­тикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии дефор­мации изделия имеем

(1)

где υ— скорость молота в конце падения с высоты h; υ'— общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты А определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле

(2)

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара, найдем, применив закон сохранения импульса

(3)

Для рассматриваемой системы закон сохранения импульса имеет вид

m₁υ=( m₁ +m₂)υ^/, откуда

(4)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим

Ответ: E_g=3258Дж.

6. Тело массой 1кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от време­ни задана уравнением s=2t²+4t+1. Определить работу силы за 10с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: m=1кг, s=2t²+4t+1

Найти: A, T=f(t).

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволи­нейный интеграл

(1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

(2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

Тогда

(5)

Из выражения (3) определим ds:

ds=(4t+4)dt (6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10с с начала ее действия:

Кинетическая энергия определяется по формуле

T=mυ²/2 (7)

Подставляя (3) в (7), имеем

T=m(4t + 4)²/2=m(16t² + 32t+16)/2=m(8t² + 16t + 8).

Оmвem: A=960 Дж, T=m(8t²+16t+8)

7. Протон движется со скоростью 0,7с (с— скорость света). Найти импульс и кинетическую энергию протона.

Дано: υ=0,7с.

Найти: p; T

Решение. Импульс протона определяется по формуле

р=m • υ (1)

Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользова­вшись релятивистским выражением для массы:

(2)

где т— масса движущегося протона; т₀=1,67•10^-27кг— маcca покоя протона; υ— скорость движения протона; с=3•10⁸м/с— скорость света в вакууме; υ/c=ß— скорость про­тона, выраженная в долях скорости света.

Подставляя уравнение (2) в (1) и учитывая, что ß= υ/c, по­лучаем

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е₀ этой частицы:

T=E-E₀ (3)

где

Вычислим энергию покоя протона:

Тогда (см. формулу (3))

Ответ: р=4,91•10^-19кг•м/с, T=0,6•10^-10Дж.

8. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10c^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: m=300г=0,3кг, l=50см=0,5м, ω₁=10с^-1.

Найти: ω₂.

Решение. Используем закон сохранения момента количества движения

(1)

где J_i — момент инерции стержня относительно оси вращения.

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем

(2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

(3)

По теореме Штейнера, J=J₀+md²,

где J— момент инерции тела относительно производной оси вращения; J₀— момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d— расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

J₂=J₀+md² , J₂=ml²/12+m(l/2)² = ml²/3. (4)

Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:

откуда

Ответ:ω=2,5с^-1.

9. Маховик массой 4кг вращается с частотой 720мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40см. Через 30с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и чис­ло оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: ω=0, m=4кг, n=720мин^-1=12с^-1; ∆t=30с, R=0,4м

Найти: М; N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, дей­ствующих на тело, нужно применить основное уравнение дина­мики вращательного движения:

(1)

где J— момент инерции маховика относительно оси, проходя­щей через центр масс; ∆ω— изменение угловой скорости за промежуток времени ∆t.

По условию, ∆ω=-ω₀, где ω₀ — начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ω=0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда ω₀=2πn и ∆ω=2πn. Момент инерции маховика J=mR², где — масса маховика; R— его радиус. Формула (1) принимает вид

откуда

Угол поворота (т. е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

(2)

где ε— угловое ускорение. По условию, ω=ω₀—ε∆t, ω=0, ε • ∆t=ω₀ . Тогда выражение (2) можно записать так:

Так как φ=2πN, ω₀=2πn, то число полных оборотов

Ответ: М=1,61H·м, N=180.