Основы электродинамики

1. В углах при основании равнобедренного треугольника с бо­ковой стороной 8см расположены заряды Q₁ и Q₂. Определить силу, действующую на заряд 1нКл, помещенный в вершине тре­угольника. Угол при вершине 120°. Рассмотреть случаи:

a) Q_l =Q₂=2нKл;

6) Q₁=-Q₂=2нКл.

Дано: |Q₁|=|Q₂|=2·10^-9Кл; Q₃=10^-9Кл; r=0,08м; α=30°;ε=1.

Найти: F₁; F₂.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции поле каждого из зарядов Q₁ и Q₂ действует на заряд Q₁ независимо. Это значит, что на заряд Q₃ действуют силы (рис.1, а)

Так как |Q₁|=|Q₂|, то |F₁₃|=|F₂₃|. Векторная сумма F=F₁+F₂ является искомой величиной. Модуль силы определяется по те­ореме косинусов

В случае одно­именных зарядов Q₁и Q₂ из рис.1, а видно, что угол ß=120°, поэтому F₁=F₁₃=F₂₃:

В случае разноименных зарядов Q₁ и Q₂ из рис.1, б видно, что угол ß=60° и, следовательно,

Ответ: F₁=2,8мкН; F₂=4,8мкН.

2. Два равных отрицательных заряда по 9нКл находятся в воде на расстоянии 8см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точ­ке, расположенной на расстоя­нии 5см от зарядов.

Дано: Q₁=Q₂= -9·10^-9Кл; ε=81; =0,08м; = =0,05м.

Найти: Е, φ

Решение. Напряженность поля, создаваемого в точке А (рис. 2) зарядами Q_l и Q₂ по принципу суперпозиции полей, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов:

Е = Е₁ + Е₂ (1)

По теореме косинусов

(2)

Напряженность поля точечного заряда Q

где ε— диэлектрическая проницаемость; ε₀— электрическая по­стоянная; r— расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется его напряженность. Заряды Q₁ и Q₂ отрицательны, следовательно, векторы его Е₁ и Е₂ направлены по линиям напряженности к зарядам. По условию заряды Q₁=Q₂ располо­жены на одинаковом расстоянии от точки А, поэтому Е₁=Е₂. Следовательно, формула (2) принимает вид Е=2E₁ cos α, где cos α=h/r_1,

Тогда напряженность в точке А

Потенциал φ, создаваемый системой точечных зарядов в данной точке поля, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов .Потенциал φ результирующего поля в точке А равен φ=φ₁+φ₂. Потенциал поля, создава­емого точечным зарядом, . Следовательно,

Ответ: E=480В/м; φ=-40В.

2. Заряд 1нКл переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1м от бесконечно длинной равномерно заряжен­ной нити, в точку на расстоянии 10см от нее. Определить работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность заряда нити 1мкКл/м.

Дано: =0,1м; =1м; =0,2м; Q= l•10^-9Кл; ε=1; τ=1•10^-6Кл/м.

Найти: А_1.

Решение. Работа внешней силы по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом φi, в точку с потенниалом φ₀ равна

A = Q(φ₀—φ₁). (1)

Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотно­стью заряда τ создает аксиально-симметричное поле напряжен­ностью Е= . Напряженность и потенциал этого поля связаны соотношением Е= ,откуда . Разность потенциалов точек поля на расстоянии г_i и г₀ от нити

Подставляя в формулу (1) найденное выражение для разности отенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними илами по перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1м, до точки, расположенной на расстоянии 0,1м от нити:

Ответ: А₁=4,1•10^-5Дж.

4. К одной из обкладок плоского конденсатора прилегает стеклянная плоскопараллельная пластинка (ε₁=7) толщиной 9мм. После того как конденсатор отключили от источника напряжения 220В и вынули стеклянную пластинку, между об­кладками установилась разность потенциалов 976В. Определить зазор между обкладками и отношение конечной и начальной энергии конденсатора.

Дано: U₁=220В; U₂=976В; d₁=9•10^-3м; ε₁=7; ε₂=1.

Найти: d_o; W_l/W₂.

Решение. После отключения конденсатора и удаления стеклян­ной пластинки заряд на его обкладках остается неизменным, т. е. выполняется равенство

(1)

где С₁ и С₂— электроемкости конденсатора в начальном и конеч­ном случае.

По условию конденсатор вначале является слоистым и его электроемкость определяется по формуле

где S— площадь обкладок; d₀— зазор между ними, d₁— тол­щина стеклянной пластинки; ε₁ и ε₂— диэлектрические проница­емости стекла и воздуха соответственно.

После удаления стеклянной пластинки электроемкость кон­денсатора

Подставляя (2) и (3) в (1), получим

откуда

Начальная и конечная энергии конденсатора

Тогда отношение этих энергий Учитывая (1), получим

Ответ: d₀=1•10^-2м; W₂/W₁=4,44.

5. Батарею из двух конденсаторов емкостью 400 и 500пФ соединили последовательно и включили в сеть с напряжением 220В. Потом батарею отключили от сети, конденсаторы разъединили и соединили параллельно обкладками, имеющими одно­именные заряды. Каким будет напряжение на зажимах получен­ной батареи?

Дано: U₁=220В; C₁=400пФ; С₂=500пФ.

Найти: U₂.

Решение. У последовательно соединенных конденсаторов за­ряды на обкладках равны по модулю Q₁=Q₂=Q и заряд батареи равен заряду одного конденсатора. Емкость батареи последова­тельно соединенных конденсаторов определяется по формуле 1/С= Σ(1/С_i). Для батареи из двух конденсаторов

а их заряд

При отключении конденсаторов их заряд сохраняется. У парал­лельно соединенных конденсаторов заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов Q'=Q₁+Q₂, а емкость — сумме емкостей

Напряжение на зажимах батареи из двух параллельно соеди­ненных конденсаторов

Подставляя (1) в (2), получаем

Ответ: U₂=108,6В

6. Заряд конденсатора 1мкКл, площадь пластин 100см², зазор между пластинками заполнен слюдой. Определить объем­ную плотность энергии поля конденсатора и силу притяжения пластин.

Дано: Q=10^-6Кл; S=10^-2м²; ε=6.

Найти: w; F.

Решение. Сила притяжения между двумя разноименно заря­женными обкладками конденсатора

(1)

где E— напряженность поля конденсатора; S— площадь об­кладок конденсатора; ε— диэлектрическая проницаемость слю­ды; ε₀— электрическая постоянная.

Напряженность однородного поля плоского конденсатора

где σ=Q/S— поверхностная плотность заряда. Подставляя (2) в (1), получаем

Объемная плотность энергии электрического поля

Подставляя (2) в (3), получаем

Ответ: F=0,94H; w=94,2Дж/м.

7. В медном проводнике сечением 6мм и длиной 5м течет ток. За 1мин в проводнике выделяется 18Дж теплоты. Опреде­лить напряженность поля, плотность и силу электрического тока в проводнике.

Дано: S=6^.10^-6м²; l=5м; t=60с; Q=18Дж; ρ=1,7•10^-8Ом^.м.

Найти: E, j; J.

Решение. Для решения задачи используем законы Ома и Джо­уля — Ленца. Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид

j = γE, (l)

где j — плотность тока; E — напряженность поля; γ — удельная проводимость.

Закон Джоуля — Ленца

здесь J— сила тока, t — время,

— сопротивление проводника, где ρ, l, S— удельное сопротивле­ние, длина и площадь поперечного сечения проводника соответ­ственно.

Силу тока J находим из (2) с учетом (3):

По определению, плотность тока равна j=J/S;

Напряженность поля в проводнике определим из (1), учитывая, что γ= 1/ρ.

Ответ: E=1,3•10^-2В/м; J=4,6А; j=7,7•10⁵А/м².

8. Внутреннее сопротивление аккумулятора 2Ом. При замы­кании его одним резистором сила тока равна 4А, при замыкании другим— 2А. Во внешней цепи в обоих случаях выделяется одинаковая мощность. Определить электродвижущую силу акку­мулятора и внешние сопротивления.

Дано: r=2Ом; J₁=4 А; J₂=2А; N₁=N₂.

Найти: ε; R₁; R₂.

Решение. Закон Ома для замкнутой (полной) цепи имеет вид

где r— внутреннее сопротивление источника тока; ε— э. д. с. аккумулятора; R₁ и R₂— внешние сопротивления цепей. Уравнения (1) представим в виде

Из равенства (2) следует, что

Мощность, выделяемая во внешней цепи в первом и втором случаях, соответственно равна

Из условия равенства мощностей следует, что

Решая совместно уравнения (3) и (4), получаем

Подставляя (5) в (2), получаем

Ответ: ε=12В; R₁=lОм; R₂=4Ом.

9. Электродвижущая сила батареи равна 20В. Коэффициент полезного действия батареи составляет 0,8 при силе тока 4А. Чему равно внутреннее сопротивление батареи?

Дано: ε=20В; η=0,8; J=4А.

Найти: r.

Решение. Коэффициент полезного действия источника тока η равен отношению падения напряжения во внешней цепи к его электродвижущей силе.

(1)

откуда (2)

Используя выражение закона Ома для замкнутой цепи , получаем

Подставляя (2) в (3) и выполняя преобразования, находим

Ответ: r =1Ом.

10. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50см друг от друга, в одном направлении текут токи J₁ и J₂ силой по 5А. Между проводниками на расстоянии 30см от первого расположен кольцевой проводник с током J₃ силой 5А (рис.3). Радиус кольца 20см. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, соз­даваемого токами в центре кольцевого проводника.

Дано: J₁=J₂=J₃=J=5А; r₁=0,3м; r₃=0,2м.

Найти: B; Н.

Решение. В соответствии с принципом суперпозиции индукция результирующего магнитного поля в точке А равна (в векторной форме)

В=В₁ + В₂ + В₃, (1)

где В_| и В₂— индукции полей, создаваемых соответственно токами J₁ и J₂, направленными за плоскость рисунка; В₃— индукция поля, создаваемая кольцевым током. Как видно из рис.3, векторы В₁ и B₂ направлены по одной прямой в противополож­ные стороны, поэтому их сумма В₁+В₂=В₁₂ равна по модулю

В₁₂= В₂ - В₁ (2)

Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током.

(3)

где µo — магнитная постоянная; µ — магнитная проницаемость среды (для воздуха µ=1); r₁, r₂ — расстояния от проводников до центра кольца. Подставляя (3) в (2), получаем

Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током,

(5)

где r₃— радиус кольца. Как видно из рис.3, векторы В₁₂ и В₃ взаимно перпендикулярны, поэтому или, учитывая выражения (4) и (5), имеем

Напряженность магнитного поля

Ответ: В=15,7мкТл; Н=12,5А/м.

11. Электрон, пройдя ускоряющую разность потеннналов 88кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01Тл. Определить радиус траектории электрона.

Дано: U=88кВ; В=0,01Тл; е=1,6·10^-19Кл.

Найти: r.

Решение. В магнитном поле с индукцией В на электрон, дви­жущийся со скоростью υ перпендикулярно В, действует сила Лоренца

F=eυB, (1)

которая обусловливает центростремительное ускорение электро­на при его движении по окружности:

где m— масса электрона; е— его заряд; r— радиус траектории его движения.

Пройдя ускоряющую разность потевдиалов U, электрон при­обретает кинетическую энергию mυ²/2, равную работе А сил электрического поля mυ²/2=eU. Отсюда находим скорость элект­рона

Из уравнения (2) с учетом (3) найдем радиус траектории:

Ответ: r=0,1м.

12. Соленоид длиной 20см и диаметром 4см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1А. Зависимость В=ƒ(H) для материала сердечника приведена на рис.4. Определить напряженность и ин­дукцию поля в соленоиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соленоида, энергию и объемную плотность энер­гии поля соленоида.

Дано: l=0,2м; D=0,04м; N=3; d=l•10^-4м; J=0,lA.

Найти: Н; В; µ; L; W; w.

Решение. Поле внутри соленоида можно считать однородным. В этом случае напряженность поля

H=J^.n, (1)

где J — сила тока в обмотке;

— число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; N— число слоев обмотки; d— диаметр провода. Тогда

По графику В=ƒ(H) (рис.4) находим, что напряженности 3000А/м соответствует индукция 1,7Тл. Используя связь между индукцией и напряженностью

определим магнитную проницаемость

Индуктивность соленоида

(4)

где l— длина, S=πD²/4— площадь поперечного сечения солено­ида. Учитывая (2), получаем

(5)

Объемная плотность энергии магнитного поля

Энергия магнитного поля соленоида

W = w • S • l, (6)

Или

W=LJ²/2 (7)

Подставляя числовые данные в (7), получаем

W= 128 Гн • 10^-2 А² • 0,5 = 0,64Дж.

Ответ:H=3000А/м; В=1,7Тл; µ=450; L=128Гн; w=2,55кДж/м³; W=0,64Дж.

13. На соленоид (см. условие и решение задачи 12) надето изолированное кольцо того же диаметра. Определить электро­движущую силу индукции в кольце и электродвижущую силу самоиндукции в соленоиде, если за 0,01с ток в его обмотке равномерно снижается до нуля.

Дано: B=1,7Тл; D=0,04м; J₁=0,1A; L=128Гн; ∆t=10^-2с; J₂=0.

Найти: ε_i, ε_s.

Решение. По условию за время ∆t =0,01с сила тока в обмотке соленоида равномерно уменьшается от 0,1А до нуля, поэтому магнитный поток, пронизывающий площадь кольца S=πD²/4, уменьшается от Ф₁=ВS до Ф₂=0. Электродвижущая сила индукции, возникающая в кольце,

Электродвижущая сила самоиндукции ε_s, возникающая в соленоиде при выключении тока в нем, ε_s= . Так как при выключении сила тока уменьшается до нуля равномерно, то

, ε_s= = =1280В

Ответ: ε_i =0,2B; ε_s=1280B.

14. Виток радиусом 5см с током 1А помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60° с направлением поля. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

Дано: r=0,05м; J=lА; Н=5000А/м; α=60°.

Решение. Работа А при повороте витка с током J в магнитном поле

A = J ∆Ф. (l)

Здесь ∆Ф=Ф₂— Ф₁— изменение магнитного потока сквозь пло­щадь витка S=πг²; Ф₁=В•Scosα — магнитный поток, прони­зывающий виток в начальном положении, где α— угол между векторами n и В.

Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое, при котором направление нормали к нему совпадает с век­тором индукции, т. е. cosα=1. Следовательно,

Ф₂=B•S. Таким образом, ∆Ф=Bπr²•(1—cosα). Учитывая, что B=µµ₀H, имеем

Подставляя (2) в (1), получаем