1. Теоретические вопросы изучения нумерации в начальной школе

План.

1. Различные подходы к понятию натурального числа и нуля.

2. Общие вопросы изучения нумерации.

3. Особенности изучения нумерации в начальной школе по концентрам.

4. Методика изучения нумерации первого концентра (десяток).

5. Методика изучения нумерации в пределах сотни.

6. Изучение нумерации в пределах концентров «тысяча» и «многозначные числа», средства, необходимые для изучения этих концентров.

2. Краткое содержание вопросов плана

2.1. Различные подходы к понятию

натурального числа и нуля

С целью выяснения объема изучения нумерации в различных технологиях, проведем сопоставительный анализ материала по классам. Данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

Сопоставление материала по нумерации

в различных системах обучения

Программа	1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
«Школа России»	Числа от 1 до 10. Число 0. Числа 11-20. Нумерационные случаи сложения и вычитания.	Десяток. Счет десятками. Образование чисел первой сотни. Нумерационные случаи сложения и вычитания.	Числа 1 – 1000. Разрядный состав числа. Нумерационные случаи сложения и вычитания.	Числа, которые больше 1000. Класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов. Нумерационные случаи сложения и вычитания. Таблицы разрядов и классов.

Продолжение таблицы 1.

Сопоставление материала по нумерации

в различных системах обучения

Программа	1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Система Л.В. Занкова	Однозначные и двузначные числа. Образование и чтение чисел второго десятка. Разрядный состав. двузначных чисел.	Нумерация в пределах 100. Чтение и запись двузначных чисел. Разрядный состав двузначных чисел. Трехзначные числа.	Нумерация в пределах 1000. образование, чтение и запись трехзначных чисел. Таблица разрядов и классов.	Положительные и отрицательные числа. Нумерация многозначных чисел: разряды и классы.
«Школа «2100»	Число и цифра. Однозначные и двузначные числа. Нумерация в пределах 100. Разрядный состав.	Нумерация в пределах 1000. Разрядный состав.	Нумерация многозначных чисел. Разрядный состав. Таблицы разрядов и классов.	-
«Гармония»	Число и цифра. Однозначные числа, числовой луч. Число и цифра 0. 1 десяток. Нумерация двузначных чисел. Разрядный состав.	Нумерация в пределах 1000. Разрядный состав трехзначных чисел.	Четырехзначные числа. Одна тысяча. разрядный состав. Пятизначные и шестизначные числа.Класс единиц, класс тысяч. Таблица разрядов и классов.

Продолжение таблицы 1.

Сопоставление материала по нумерации в различных системах обучения

Программа	1 класс	2 класс	3 класс	4 класс
Система Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.	Число как мера величины. Римская нумерация. Число как отношение величины к мере. Числовая прямая: начало отсчета, единичная мерка.	Меточная форма числа, числовые шкалы. Многозначные числа. Разряд, класс. Позиционные системы счисления. Чтение и запись чисел в различных системах счисления. разрядный состав многозначных чисел. Изображение многозначных чисел на числовой прямой.	Многозначные числа: разряды и классы.
«Школа «2100»	Число и цифра. Однозначные и двузначные числа. Нумерация в пределах 100. Разрядный состав.	Нумерация в пределах 1000. Разрядный состав.	Нумерация многозначных чисел. Разрядный состав. Таблицы разрядов и классов.	-
«Начальная школа XXI века»	Число и цифра, нумерация в пределах 20.	Нумерация в пределах 100. Разрядный состав.	Нумерация в пределах 1000.	Многозначные числа: разряд, класс.

Сопоставительный анализ программ позволяет сделать вывод, что объем изучения нумерации практически единый (исключение программа Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова), разница только в распределении материала по годам обучения.

Понятие числа является основным стержневым понятием всего школьного курса математики и пронизывает этот курс от первого до последнего класса. В начальной школе изучаются натуральные числа и число ноль, т.е. целые неотрицательные числа. Число – понятие абстрактное. В школе этому понятию определения не дается. В начальной школе не определяется натуральное число, но зато в течение всех лет обучения ведется работа по его формированию. Натуральные числа имеют различные функции:

1. Число количественное, т.е. отвечает на вопрос «Сколько». Теоретической основой является множество (основал эту теорию немецкий математик Георг Кантор).

2. Число порядковое, т.е. отвечает на вопрос «Который по счету». В основе лежит аксиоматическая теория, автором которой является Джузеппе Пеано.

3. Число, получаемое в результате измерения, и отвечает на вопрос: «Сколько раз избранная мерка содержится в том предмете?».

В результате измерения величина получает определенное числовое значение при выбранной единице измерения. Заметим, что понятие счета и измерения тесно связаны, но по своей сути они различны. Например, отмеряя кусок проволоки и пользуясь дециметром в качестве мерки, мы отсчитываем 1 дм, 2 дм, 20 дм. На самом деле последовательно откладывается данная мерка – дециметр по всей длине измеряемой проволоки, поэтому и результат записывается с соответствующим наименованием; 20 дм. Это уже не число, а величина. Если же длину этой проволоки измерить в сантиметрах, то и результат должен быть записан с соответствующим наименованием – 200 см., а если единицей измерения будет метр, то получим 2 м.

4. Число в роли оператора, т.е. как участник арифметических операций.

Число нуль обозначает ситуацию отсутствия предметов, подлежащих счету.

Следует правильно формулировать пояснения числа нуль:

— Не осталось ни одной фигуры (предмета), которые мы считали. Для того чтобы это обозначить математически, на письме, используют специальный знак — цифру 0 (нуль, ноль). (В русском языке возможны обе формы.)

При этом не стоит говорить: «Ничего нет, значит 0». Нет ни одного кусочка хлеба в хлебнице. Для обозначения того, что хлеба в хлебнице больше нет, используют цифру 0.

Вопрос о месте нуля в ряду чисел является важным для правильного формирования представления о натуральном ряде.

Для того чтобы объяснить роль нуля в записи двузначного (многозначного) числа необходимо обратиться к понятию «разряд», которое является базовым в десятичной системе счисления.

Суть в том, что в записи двузначного (многозначного) числа, нуль выполняет роль «сторожа» разрядного места. Поскольку в записи двузначного числа роль цифры зависит от ее позиции (места в записи), одна и та же цифра будет иметь различное значение в зависимости от того, какое место она занимает. Такова структура десятичной системы, и именно поэтому она называется позиционной. Каждая позиция в записи числа имеет свое значение, называемое разрядом. Нуль в записи двузначного числа 10 обозначает, что в первом разряде (разряде единиц) нет значащих цифр, но данная позиция (разряд) в этом числе «задействована», и если к данному числу будут добавляться единицы, то они будут добавляться именно в этот разряд, который пока пуст.