2.8 Частотнi характеристики дискретних систем

Вiдомо, що перехід вiд перетворення Лапласу до частотних характеристик виконується шляхом замiни ; аналогiчно у областi змiнної виконується пiдстановка .

Однак цифровi системи управлiння мають деякi специфічні властивостi якi пов'язанi з методами дискретних перетворень. Якщо реакцiя лiнiйної неперервної системи на гармонiчний вхiдний сигнал має ту ж саму частоту, а у нелiнiйних системах з'являються субгармонiки кратнi основної частотi, то у дискретних системах квантуючий пристрiй дiє як генератор гармонiк, i тому реакцiя системи на гармонiчний вплив має i вищi гармонiки, що повинно ускладнювати процес побудови частотних характеристик.

Можна визначити наступні засоби побудови частотних характеристик.

1. По дискретній передаточній функцiї з подальшою замiною .

2. По ваговій функцiї приведеної неперервної частини дискретної системи.

3. По частотній характеристики приведеної неперервної частини на основi спiввiдношення

,

4. З використанням w-перетворення на основi псевдочастоти.

5. По векторно-матричній моделi.

1. Хай передаточна функцiя задана у виглядi

При цьому, шляхом замiни , можна перейти до частотних характеристик :

П 2.45

Визначити частотну характеристику ланки

Рис. 121 АФЧХ дискретної ланки

2. Тому що дискретна передаточна функцiя може бути представлена у виглядi то при замiнi , здобудемо У силу того, що то двом еквівалентним частотам, тобто частотам, якi розрізнюються на цiле число частот повторення, вiдповiдає одна i та ж точка на одиночному колi ( Рис.122).

Рис. 122 АФЧХ для

Таким чином частотна характеристика для дiапазону частот буде такого ж як i для дiапазону що дозволяє будувати частотну характеристику для будь-якого iнтервалу значень w довжиною Звичайно вибирається основний iнтервал у межах . Величини визначаються безпосередньо по заданої iмпульсної характеристики системи як її коефiцiєнти , а амплітудно-фазо-частотна характеристика визначається як (Рис.123).

Рис. 123 До побудови на основі імпульсної характеристики

При цьому вiдрiзки відкладаються пiд кутом до дiйсної осi, що дає можливiсть побудувати замикальну многокутника, яка є вектором амплiтудно-частотної характеристики для обчислюванної частоти. Тому що для стiйких систем вагова функцiя є спадною до нуля, то можна практично використати обмежений ряд вагових коефiцiєнтiв.

3. Якщо задано частотну характеристику неперервної частини системи, то для побудови частотної характеристики можна скористатися спiввiдношенням

(130)

При цьому для побудови необхiдно для заданого перiоду квантування Т та передаточної функції імпульсного елемента та передаточної функції неперервної частини скласти приведену передаточну функцію. Так при застасуванні фіксатора нульового порядку

із заміною частотна характеристика приймає вигляд (Рис.124)

Рис. 124 До побудови на основі

Тому що з пiдвищенням модуль частотної характеристики швидко збiгається до нулю, то при побудовi можна обмежитись кінцевим числом складових, тобто

Отже, побудову можна виконати на основi змiщених векторiв, тобто

Рис. 125 До умови визначення по .

4. Вiдомо, що у зв’язку iз застосуванням -перетворення основна смуга -площини у межах частот вiдображається у коло одиничного радiусу на комплексної площинi . Із теорiї перетворень вiдомо, що коло одиничного радiусу може бути розгорнуто у площину на основi бiлiнiйного перетворення, яке використовує замiну комплексної змiнної на

(131)

Якщо подальше використати підстановку , то при цьому здобудемо

(132)

де визначає вiдносну псевдочастоту. При цьому коло одиничного радiусу у -площинi перетворюється у уявну вiсь -площини.

Замiсть вiдносної псевдочастоти можна ввести пропорцiйну величину :

(133)

яка називається абсолютною псевдочастотою.

Рис. 126 До поняття бiлiнiйного перетворення

При такій замiнi лiвій напiвплощині у межах вiдповiдає уся лiва півплощина комплексної змiнної , а перехід вiд -зображення виконується шляхом замiни

(134)

Якщо аргумент функції тангенсу менше одиниці, то можна вважати що

і у цьому дiапазонi виконуються умови .

Отже, якщо виконуються умови то можна псевдочастоту замiнювати дiйсною частиною, що приводить до значного спрощення обчислень. При цьому у межах

(135)

псевдочастота змiнюється у дiапазонi а комплексна величина перемiщується по уявнiй осi вiд до

Таким чином, у результатi підстановки з подальшою замiною можуть бути здобутi частотнi передаточнi функцiї

(136)

Так для частотна характеристика визначається як

Рис. 127 АФЧХ ланки наоснові абсолютної псевдо частоти.

П 2.46

Побудова частотних характеристик дискретної системи

Передаточна функція неперервної частини

1. Визначається передаточна функція у Z-формі

2. Визначається перехідна функція та її перша різниця

_{Рис.128 Часові характеристики до П}

3. Будується АФЧХ дискретної системи

4. Для перевірки будується АФЧХ по Z-формі з підстановкою

Рис. 129 АФЧХ до П АФЧХ співпадають.

2.8.1 Логарифмічні характеристики дискретних систем керування.

Використання псевдочастоти приводить до того, що для може бути побудована логарифмічна та фазова характеристики, якi по вигляду співпадають iз звичайною формою неперервних систем.

(137)

Однак при побудовi логарифмiчних характеристик дискретних систем треба ураховувати, що вони розбиваються на два піддіапазони: низькочастотну частину, яка знаходиться лiвiше вiд псевдочастоти та високочастотну частину з частотами (138). У межах першої дiлянки iстотних змiн масштабу частот не вiдбувається, але у межах другої дiлянки у зв’язку iз швидким пiдвищенням функцiї тангенсу, виконується швидке зростання масштабу частот.

Якщо задано неперервну частини з фіксатора нульового порядку, то спочатку визначається W(z)

_{Далі переходять до відносної та абсолютної псевдочпстоти}

_{та будуються логарифмічні характеристики за правилами , які використовуються для неперервних систем}

Рис. 130 До порядку пробудови асимптотичної ЛАЧХ

Рис. 130 Логарифмічна АФЧХ неперервна

П 2.49

Побудувати логарифмічні характеристики для ланки з фіксатором нульового порядку

1. Визначається комплексний коефіцієнт передачі відносно абсолютної псевдо частоти

2. Визначаються асимптоти

2.1 Сполучені частоти

2.2 Низькочастотна асимптота

2.3 Середньочастотна

2.4 Високочастотна

3. Визначається неперервна ЛАФЧХ

Рис. 131 Асимптотична ЛАФЧХ ланки з фіксатором нульового порядку.

П

Побудувати ЛАФХЧ для системи з передаточною функцією

1. На основі W-перетворення виконується перехід до псевдо-частоті w із заміною

2. Визначаються нулі та полюси передаточної функції

3. Виконується перехід до абсолютної псевдо-частоти

тобто

4. Будуються ЛАЧХ та ФЧХ

Тест 12

Для попередньої задачі побудувати асимптотичну ЛАЧХ

1. По виразу W1p() визначаються частоти зпряжіння та виконується їх ронжування

2. Визначаються асимптоти по ділянкам

3. Алгоритм зшивання

4. Будується ЛАХЧ

Рис. 132 До порядку пробудови асимптотичної ЛАЧХ

2.9 Частотні критерії стійкості

Частотні критерії можна розділити на дві групи:

• частотні критерії, які характеризуються тим, що досліджується безпосередньо замкнута система(критерій Михайлова).

• частотні критерії, які характеризуються тим, що про стійкість по частотним характеристикам умовно розімкнутої системи.

У основі всіх частотних критеріїв лежить принцип аргументу.

2.9.1 Принцип аргументу

Хай структурна схема дискретної системи зведена до вигляду (Рис.133), де

(139)

Рис.133 Узагальнена схема дискретної системи

При цьому передаточна функцiя замкненої системи буде

Розглянемо вектор

де є характеристичним полiномом замкненої системи, а – характеристичний полiном розiмкненої системи. Очевидно, що порядки полiномiв та рiвнi. Запишемо характеристичний полiном замкненої системи, який визначає стiйкiсть системи, у виглядi

де – коренi полiному . Тодi прирiст його аргументу при змiнi у межах дорiвнює (140)

Розглянемо окрему складову . Хай . Тодi при змiнi вiд до вектор добуде фазовий прирiст, який дорiвнює (Рис.75 а). Якщо , то при змiнi частоти вiд до вектор аргумент прирiсту не набуває (Рис.134 б)

а) б)

Рис.134 До поняття принціпу аргументу (дискретний варіант)

Таким чином,

(141)

Хай має коренiв та коренiв .

Тодi

Якщо ж має коренiв , то

(142)

що вiдповiдає умовам стiйкостi замкненої системи.