Тому що то суттєву роль у визначенні змiнних стану грає вираз який називають матрицею переходу або матричною експонентою.

Для обчислення матричної експоненти її можна розкласти у ряд по ступеням

(155)

Число членiв розкладу визначається властивостями системи та iнтервалом дискретностi .

Так при розклад вiдповiдає методу Ейлера, при - методу Рунге-Кутта четвертого порядку.

Для обчислення фундаментальної матрицi може бути застосовано рекурентний алгоритм

де -номер шагу рекурентного алгоритму

(початкове значення для та );

остача ряду, що визначає точнiсть обчислень.

Ефективним засобом обчислення матричної експоненти є використання формул на основi апроксимації Горнера

₍₁₅₆₎

Якщо система є цифровою, то її рiвняння динаміки можна записати у видляді

Тодi рiшення рiвнянь стану записується у виглядi

, (157)

де

Якщо неперервна частина системи задана рiвняннями

то за умови , перехiдна матриця стану дорiвнює , де а . (158)

Якщо матриця має велику розмiрнiсть, то операцiя зведення матрицi у степiнь потребує значних затрат часу. Однак, будь-яка степiнь матрицi може бути обчислена за схемою Келi-Гамiльтону

, (159)

де - коефiцiєнти характеристичного рiвняння матрицi .

Так, якщо задано цифрову систему керування , а матриця визначена як

,

то її характеристичне рiвняння буде

Отже, матричне рiвняння запишемо у виглядi

що дозволяє визначити

Далi

тощо.

Матрична експонента може бути визначена i за допомогою -перетворення.

Тому що

то для систем високого порядку операцiя знаходження потребує дуже велику чисельнiсть обчислень. Однак ця операцiя може бути виконана за допомогою теореми Келi-Гамiльтону

₍₁₆₀₎

В цьому випадку

Хай

Характеристичне рiвняння

Коефiцiєнти характеристичного рiвняння

Тодi

Отже,

За допомогою цiєї процедури можна здобути i матрицю

2.11.4 Визначення передаточної функції дискретної системи

Тому що рівняння змінних стану має вигляд ,

а рiвняння виходу то

Якщо покласти , то

Отже, спiввiдношення

(161)

визначає передаточну функцiю дискретної системи.

2.11.5 Визначення умов стійкості

Для рiшення питання про стiйкiсть властивого руху достатньо розглянути цифрову систему автоматичного керування, яка описується векторно-матричним рiвнянням

де - матриця коефiцiєнтiв замкненої системи.

Тому що рiшення цього рiвняння добувається у виглядi

то для того, щоб спектр матрицi розташовувався у колi одиничного радiусу необхiдно та достатньо, щоб виконувались умови

(162)

Цi умови виконуються лише при абсолютному зменшенню елементiв матрицi .

Для пiдвищення швидкостi обчислень при зведеннi матрицi у степiнь, рекомендується цю операцiю виконувати таким чином, щоб кожна наступна матриця була квадратом попередньої, тобто за законом . Тодi k-а ступiнь матрицi добувається через крокiв (так 128-а ступiнь матрицi здобувається через сiм крокiв, а 1024-а- через десять кроків).Вивчення степенiв матрицi повинно використовуватися доки, поки не буде виконуватися нерiвнiсть

де - елементи матрицi .

Бiльш економiчна оцiнка може бути добута на основi розглядання матричних норм та слiдiв. При цьому можуть обчислюватися слiдуючи норми

, , , (163)

Для того, щоб система була асимптотично стiйкою та при , достатньо, щоб будь-яка iз норм матрицi була менше одиницi . Якщо ця умова не виконується, то iз цього не слiдує, що досліджувана точка простору параметрiв системи є нестiйкою. В цьому випадку питання про стiйкiсть повинно бути додатково дослiджено шляхом перевiрки норм наступних степенiв матрицi .

Хай

Тодi

Отже, система стiйка.

Оцiнка властивих чисел матрицi може виконуватися за її слiдом, тому що слiд наступних степенiв матрицi представляє собою суму всiх властивих чисел , узятих у тiй же степенi, що i матриця , тобто .Якщо система стiйка та , то слiд також прямує до нулю при . При цьому достатнiм критерiєм нестiйкостi є спiввiдношення , яке показує, що серед є хоча б одне для якого виконуються умови , а це позначає, що система нестiйка. Якщо ж спiввiдношення не виконується, то треба виконувати процедуру зведення матрицi у степiнь , та перевiряти слiд вiдповiдних матриц на кожному кросі перевiряючи умови стiйкостi.

П 31

Визначити стійкість неперервної системи керування, яка має передаточну функцію

1. Складається диференційне рівняння

1. Складаються рівняння змінних стану та визначається матриця А

1. Визначається матриця В

2. Визначаються норми матриці В

5. Висновок: норма матриці зменшується при збільшення ступені k . Якщо норма стає менше одиниці, та неперервна система стійка

П 32

Визначити стійкість дискретної системи керування по умовам задачі П 2.80

1. Складаються рівняння змінних стану та визначається матриця А^*

2. Визначається Евклідова норма матриці А^*

3. Висновок: Евклідова норма матриці збігається до нуля при збільшенні ступені k матриці – дискретна система керування стійка.