1.4. Замена переменных в двойном интеграле
Важную
роль в вычислении двойных интегралов
играет замена переменных:
,
где область G
- новая квадрируемая область изменения
переменных
и
,
являющаяся взаимно-однозначным
отображением квадрируемой области Q
. Обычно замена переменных в двойном
интеграле производится с целью упрощения
области интегрирования. Пусть функции
,
непрерывны вместе со своими частными
производными 1-го порядка в G
на область Q
в плоскости Оxy
, а якобиан удовлетворяет условию:
в области G
переменных
плоскости Оuv
. Тогда верна формула
.
Подходящая
замена позволяет в ряде случаев
упростить вычисление двойных интегралов,
как за счет преобразования подынтегрального
выражения, так и за счет изменения
области интегрирования, которая может
оказаться в новой системе координат
более простой, например, криволинейной
трапецией 1-го и 2-го типа или
прямоугольником. Так используют полярную
замену:
,
,
при
=
.
Полезна обобщенная замена вида:
,
,
,
где
постоянные, взятые по типу задачи. Тогда
.
Пример
5.
Заменить переменные в J
=
,
где Q
ограничена кривой L=
.
Найти J
с
.
Решение.
Сделаем
полярную замену переменных и подставим
в уравнение кривой. Тогда имеем
или
.
Здесь
. Поэтому
.
Как
известно, при замене переменных в
двойном интеграле граница области OXY
переходит в
границу
области OUV
и обратно.
Поэтому в Oρφ
преобразованная область
и
.
Для получаем
Пример
6.
Перейти к координатам
в
.
Решение.
Здесь
область Q
яляется круговым сегментом, ограниченным
прямой
и
кривой
.
.
Для этого область интегрирования запишем
неравенствами и подставим
в функции 
.
Тогда в полярной системе координат
получаем область
.
В
результате замены интеграл
.
В этом примере использована формула
.
При внешнем интегрировании по
область
где пределы интегрирования
.
Это видно из рис.3:
G
1
0
Рис.3. Область G в полярной системе координат.
Здесь
функция
соответствует прямой
,
а функция
соответствует кривой
.
Поскольку же значение
,
то получаем зависимость
и
в полярной системе
.
Пример
7.
Используя обобщенную полярную замену,
вычислить интеграл
по области Q
ограниченной кривой L
с h,k,a,b
>0:
.
Решение.
Произведем замену переменных:
.
Тогда уравнение кривой, являющееся
частью границы области, в этой
системекоординат имеет вид:
.Это
получается из подстановки
в уравнение кривой L,
а также из ограничений
,
соответствующих
при
.
Тогда после замены получаем:
В следующих примерах найти подходящую замену для более удобного вычисления интеграла.
Пример
8.
Осуществить замену переменных в
,
где область Q
ограничена кривыми
и найти его значения для функции
.
Решение.
Область Q
представить в виде некоторого
объединения криволинейных трапеций
здесь затруднительно. Поэтому найдем
удобную замену переменным. Введем
новые переменные u
,v
по формулам u=xy
, y=vx
.
Тогда
− область новых переменных. Таким
образом получим, что прямоугольник
в плоскости Ouv
отображается на область Q.
Очевидно,
,
а
.
Якобиан преобразования
в прямоугольнике
.
Поэтому здесь выполнены условия
замены переменных под знаком двойного
интеграла и
Для
при
и
получаем
.
Тогда при замене переменных в интеграле
получаем
Пример
9.
Проведя замену переменных самостоятельно
вычислить площадь фигуры
,
ограниченной кривыми. Здесь G
образ области Q
при замене переменных.
а)
.
Замена
,
где
, а
.
б)
.
Замена
,
где
, а
.
в)
,
.
Замена
,
где
,
а
.