2.3. Замена переменных в тройном интеграле

1. Пусть при вычислении тройного интеграла требуется перейти от x,y,z к новым u,v,w, где . Здесь функции непрерывны со своими частными производными 1-го порядка и устанавливают взаимно-однозначное соответствие между телами V пространства и P пространства Ouvw, а также якобиан

в теле P. Тогда при кубируемости тела P и непрерывности функции пользуются формулой :

2. Приведем наиболее употребительны замены:

а) Цилиндрические координаты. Здесь координаты точки

определены как: при . Переменные являются полярными координатами проекции точки М на плоскость OXY . Цилиндрическим координатам отвечают следующие три семейства координатных поверхностей: цилиндры , вертикальные полуплоскости , горизонтальные плоскости . Цилиндрические координаты удобно применять, если имеется сумма квадратов любых пар (x,y) , (y,z) . Приведем пример на цилиндрические координаты.

Пример 14. Вычислить тройной интеграл , где тело V ограничено поверхностями .

Решение. Сделаем замену в цилиндрических координатах. Параболоид пересекаясь с плоскостью , вырезает из нее окружность . Тогда, подставляя в уравнение окружности, имеем . Отсюда изменение . Изменение для z получается из равенства при . Поэтому . Тогда в пространстве O имеем тело

После замены переменных

б) Сферические координаты. Здесь положение точки М в пространстве Oxyz определяется : расстоянием R от начала координат до М, углом между отрезком ОМ и положительным направлением оси Oz , углом между проекцией отрезка ОМ на плоскость Oxy и положительным направлением оси Ox.

Это соответствует замене: . Тогда якобиан . Здесь .

Замечание 2. Иногда угол отсчитывают от плоскости Oxy . Тогда его изменение будет и смена для x, y, z нетрудно осуществить путем

замены угла на , где .

Сферическим координатам отвечают три семейства координатных поверхностей: сферы R=const, полуконусы , вертикальные полуплоскости .Сферические координаты удобно применять, если в область интегрирования или подынтегральную функцию входит сумма квадратов всех 3-х переменных.

Пример 15. Вычислить объем тела V , ограниченного поверхностями:

.

Решение. Так как объем тела V выражается интегралом , то и требуется вычислить этот интеграл. Для упрощения вычислений введем здесь сферическую замену: . Найдем области изменения этих переменных. Для этого подставим их выражения в уравнения поверхностей. Тогда для переменных получим границы их изменение: , . Для угла на основе имеем равенство: или . Так как и , то отсюда .Тогда интеграл, являющийся объёмом тела, вычисляется как

3. При решении примеров полезно пользоваться также обобщенными сферическими координатами переход к которым осуществляется по формулам:

,

где параметры . Якобиан преобразования здесь

Пример 16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью:

, где все параметры положительны.

Решение. Для вычисления объема тела удобно перейти к обобщенным сферическим координатам при . Из уравнения поверхности видно, что . Тогда по . Поэтому . Отсюда . Следовательно, . Имеем при подстановке замен x,y,z через обобщенные сферические координаты в уравнение поверхности. Тогда и объем тела равен

Замечание 3. Отметим, что при замене переменных в тройном интеграле граница переходит в границу, а внутренность тела во внутренность. Этим следует пользоваться при решении примеров. Так, чтобы нарисовать вид тела, достаточно изобразить его границу. Найти же границу (как и в случае двойного интеграла) часто оказывается проще, чем внутренность тела. Отметим, что этот способ мы неоднократно использовали в приведенных примерах на двойные и тройные интегралы.