3.4. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному.

Случай 1. Параметрически заданная поверхность. Пусть поверхность кусочно-гладкая, задана как , , , где − квадрируемая область и - непрерывна на . Тогда существует

.

Здесь в интеграле 1-го рода коэффициенты Гаусса имеет вид:

, ,

и поверхностный интеграл 1-го рода существует, если существует двойной интеграл. Оба интеграла существуют, если непрерывна на .

Случай 2. Явное задание поверхности . Если - гладкая поверх-ность, заданная уравнением при - квадрируемой области, и − ограниченная функция на , то интеграл 1-го рода

и существует, если существует двойной интеграл. Для гладкой и непрерывной , оба интеграла существуют одновременно.

В случае поверхности, заданной уравнением

,

где - квадрируемая область, а также при имеем

для - квадрируемой области. Отметим, что все эти формулы получаются как частные для параметрически заданной .

Пример 17. Вычислить для - части цилиндрической поверхности : , , , , .

Решение. Применим формулу для вычисления интеграла для параметрически заданной поверхности. Имеем , , . Поэтому

.

.

Здесь область - квадрируемый прямоугольник .

Пример 18. Вычислить по полной поверхности конуса: .

Решение. Пусть - боковая поверхность конуса, а – его основание. По аддитивности поверхностного интеграла 1-го рода получаем

. К первому интегралу применим формулу

для явного задания поверхности: . Поскольку же , , то интеграл

.

Здесь и в двойном интеграле осуществлен переход к полярным координатам. На основании конуса . Поэтому

. Но , так как основание конуса – круг радиуса равного 2. Окончательно .

3.5. Поверхностный интеграл второго рода

Пусть − квадрируемая, гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем одну из её сторон и , , - функции, определенные на . Тогда интеграл называется поверхностным интегралом 2-го рода по выбранной стороне поверхности. Здесь , , - косинусы нормали к поверхности, направление которой согласовано с выбранной стороной. Поверхностный интеграл 2-го рода записывают еще как . При переходе к другой стороне поверхности меняет знак на противоположный. Отметим, что основные свойства поверхностного интеграла 2-го рода такие же, как у поверхностного интеграла 1-го рода. Это линейность относительно подынтегральной функции и аддитивность по области при для неперекрывающихся поверхностей и . Также, если подынтегральная функция непрерывна, то поверхностный интеграл 2-го рода существует.

3.6. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному

Случай 1. Явное задание поверхности. Пусть гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность задана уравнением и взята верхняя часть этой поверхности, а - ограниченная на функция. Тогда справедливо равенство , где - проекция поверхности на плоскость 0xy. Интеграл слева существует, если существует двойной интеграл. Если же берется нижняя сторона поверхности, то

Здесь нижняя и верхняя стороны поверхности отличаются противоположным направлением нормали. Отсюда и противоположные знаки в двойном интеграле. Аналогично получаем формулы

Здесь и проекции на плоскость 0yz и 0zx соответственно и оба интеграла – поверхностный и двойной существуют для непрерывных .

Случай 2. Параметрическое задание поверхностей. Пусть гладкая (или кусочно-гладкая) поверхность задана равенствами:

, , , ,

а , , ограниченные на функции. Тогда для выбранной стороны поверхности верно равенство:

,

где - коэффициенты Гаусса, а , , , берутся в точке . Здесь косинусы нормали имеют вид:

, , ,

где

, ,

и . Знаки в косинусах нормали соответствуют выбранной стороне поверхности . При этом имеем значение

,

где подинтегральные функции в двойном интеграле берутся в точке и соответствует стороне поверхности.

Пример 19. Вычислить , где - нижняя сторона части конической поверхности , где .

Решение. Поверхность ориентирована нормалями, составляющими тупой угол с осью 0z. Тогда будет отрицательный и в формуле для явного задания поверхности надо брать знак « - ». При этом сводим интеграл к двойному по формуле , который вычисляется через полярную замену. Область здесь есть круг и является проекцией поверхности на плоскость 0xy.

Пример 20. Вычислить , где – часть эллипсоида

, ,

при , и ориентированного внешней нормалью.

Решение. Здесь подинтегральные функции положительные, а углы, образованные внешней нормалью с осями координат, острые. Поэтому все косинусы положительные. Следовательно, перед интегралом надо ставить знак «+». Используем формулу для подсчета поверхностного интеграла второго рода для параметрически заданной поверхности. Здесь: , , ; , , , а , , . Тогда нетрудно показать, что для , , функция . Сведя поверхностный интеграл к двойному, получаем:

,

где .

Пример 25. Вычислить , где - внешняя сторона сферы .

Решение. Здесь , , . Поверхность , где - верхняя полусфера, а - нижняя полусфера. Поверхность задана уравнением , а уравнением .Из аддитивности поверхностного интеграла 2-го рода

.

Подсчитаем эти интегралы отдельно. Для явного задания поверхности

косинусы нормали:

, , ,

при для обеих полусферных поверхностей

и . Поскольку нормаль к поверхности составляет с осью 0z острый угол, то (так как здесь берется верхняя сторона полусферы ). Тогда в , берется перед знак «+». имеем для :

, .

Отсюда для косинусы

, , .

Для поверхности получаем при значение

.

Далее, при замене , получаем

.

Поскольку для (нижней полусферы) нормаль составляет по нижней ее стороне тупой угол, то в косинусах нормали перед надо брать знак «-», так как . Для имеем , а производные

, .

Отсюда для , с учетом значения , косинусы , , . Имеем для при значение

,

который вычисляется так же как и при переходе в двойном интеграле к полярным координатам. Отсюда .