3. Поверхностные интегралы

3.1. Способы задания поверхности

Рассмотрим способы задания поверхности в трёхмерном пространстве.

1. Параметрическое задание. Пусть поверхность = задана непрерывным отображением:

.

Рассмотрим на этой поверхности семейство кривых, зависящих от параметра . При этом через каждую точку поверхности проходит только одна кривая этого семейства. Далее рассмотрим также ещё одно семейство, зависящее от параметра . Линии семейств, пересекаясь в одной точке поверхности, образуют координатную сеть. Таким образом, являются функциями параметров :

, , .

2. Явный способ задания. Пусть на плоскости имеется область

и в ней определена непрерывная функция .Рассмотрим отображение плоской области в область = трёхмерного пространства

.

Совокупность точек трёхмерного пространства образует поверхность.

3.2. Сторона поверхности и её ориентация

Рассмотрим гладкую поверхность , на которой выберем замкнутый кусочно-гладкий контур. Возьмём на нём точку и проведём в ней нормаль к поверхности, которой припишем одно из двух возможных направлений. Будем двигаться по этому контуру. Возможны следующие ситуации:

1. Движение по любому замкнутому контуру приводит к тому, что нормаль возвращается в исходное положение.

2. Существует замкнутый контур, при обходе которого, направление нормали меняется на противоположное.

Мы будем в первом случае называть поверхность двусторонней, а во втором − односторонней. Подчеркнём, что на двусторонней поверхности выбор направления нормали в одной точке однозначно определяет это направление в других точках. Примером двусторонней поверхности является гладкая поверхность, заданная параметрически.

Определим, теперь, ориентацию поверхности. Пусть поверхность − двусторонняя и ограничена простым замкнутым контуром . Пусть наблюдатель двигается по так, что нормаль направлена от ног к голове. Если он всё время видит слева от себя, то направление обхода назовём положительным, а в противном случае − отрицательным.

Выбранное положительное (отрицательное) направление обхода контура, ограничивающего поверхность, назовём ориентацией поверхности.

3.3. Поверхностный интеграл первого рода

Пусть имеется гладкая (кусочно-гладкая) поверхность . В точках этой поверхности задана функция . Интеграл вида называется поверхностным интегралом I рода от функции по поверхности . С физической точки зрения он представляет массу поверхности в точках которой задана плотность .

Приведём основные свойства поверхностного интеграла первого рода.

Свойство 1. Если непрерывна на , то интегрируема.

Свойство 2. (линейность).Если , интегрируемы на , то их произведение и сумма тоже интегрируемы на для любых

Свойство 3. Для неперекрывающихся гладких (кусочно-гладких) поверхностей и при интегрируемой будет существовать

,

где . Здесь и называются неперекрывающимися, если содержит конечное число кусочно-гладких кривых (может быть и пустое). Это свойство 3 называется аддитивностью интеграла по области.

Свойство 4. - площадь поверхности .

Свойство 5. Если на и функции интегрируемы, то

(монотонность интеграла).

Свойство 6. Если интегрируема на , то тоже интегрируема на и

.