2. Тройные интегралы

2.1. Свойства тройного интеграла

1. Линейность. Если и интегрируемы по области D, а постоянные, то сумма интегрируема в D и

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

2. Аддитивность по области. Если , где P и Q кубируемые тела без общих внутренних точек и функция интегрируема в теле P и в теле Q , то интегрируема в V и верна формула

Это свойство распространяется на любое конечное объединение: , где кубируемые тела, а их внутренности попарно не пересекаются.

3. Интегрируемость в подобласти. Если существует, то для любого кубируемоваго тела существует .

4. Монотонные свойства тройного интеграла.

а) Если в области , то ;

б) Если в области , то

;

в) При существовании существует

и .

5. Тройной интеграл существует для любой непрерывной функции по кубируемой области .

6. Если ограниченная функция непрерывна в кубируемой области кроме некоторого множества с объемом равным нулю, то

существует. При этом, если изменить произвольным образом значения функции на множестве , то тройной интеграл от измененной функции равен интегралу от прежней функции.

2.2. Вычисление тройного интеграла

Здесь будут приведены основные формулы для вычисления тройного интеграла по параллельному и криволинейным цилиндрам .

1. Пусть область интегрирования представляет собой прямоугольный параллепипед: . Тогда тройной интеграл для непрерывной в V функции вычисляется по формуле

.

Для непрерывной будут возможны и другие формулы путем круговой перестановки переменных x, y, z как, например,

.

Пример 10. Вычислить тройной интеграл по от функции u = xyz .

Решение. Так как функция u = xyz непрерывна, то интеграл

и так далее, согласно перестановке переменных. Вычислим один из них:

.

2. Пусть теперь область интегрирования задается системой неравенств: { },

где все функции непрерывны, а любая прямая пересекает графики функций только в одной точке и любая прямая параллельная оси OZ пересекает поверхности , тоже в одной точке. Такое тело называется криволинейным цилиндром. Тогда для непрерывной в V функции верна формула:

Таким образом тройной интеграл как и выше сводится к трем повторным, что значительно упрощает его вычисление по телу V , которое назовем криволинейным цилиндром 1-го типа и обозначим V_Ι. Отметим, что в основании цилиндра может быть любая квадрируемая область . Тогда интеграл

Пример 11. Вычислить интеграл , где тело V определяется неравенствами: { }.

Решение. Здесь , а пределы . Тогда тройной интеграл

Замечание 1. По аналогии с двойным интегралом и криволинейными трапециями 1-го и 2-го типов вводятся также криволинейные цилиндры 2-го и 3-го типов. Будем их обозначать и , а 1-го . Они отличаются лишь между какими поверхностями заключено тело. Так в тело заключено между поверхностями и , а является квадрируемой областью. В криволинейном цилиндре :

,

где область – квадрируемая область. Например, криволинейная трапеция 1-го или 2-го типа или их объединение, а функции , имеют

такие же свойства как и для . Именно любая прямая параллельная оси пересекает поверхности , в одной точке.

Для криволинейного цилиндра имеем:

,

где – квадрируемая область. Например, криволинейная трапеция 1-го или 2-го типа или их объединение. Функции имеют свойства аналогичные предыдущим. Именно любая прямая параллельная оси пересекает поверхности в одной точке. Тогда тройной интеграл от непрерывной выражается как :

,

.

Аналогично интеграл по будет равен:

.

Далее, двойные интегралы по областям раскрываются аналогично как и для , если криволинейная трапеция 1-го или 2-го типа. Если же тело V представляет объединение разного типа цилиндров, то по свойству аддитивности по области, тройной интеграл будет суммой тройных интегралов по криволинейным цилиндрам .Ясно, что каждый из таких интегралов можно вычислить по приведенным формулам.

Если область V является одновременно цилиндрами 1-го, 2-го и 3-го типов. Например, шар является таковым. Для этого достаточно выразить z или x или y из равенства . Так если , то имеем два равенства вида:

, ,

а − круг . Аналогично осуществляем и для x или y.

Пример 12. Расставить различными способами пределы интегрирования в интеграле .

Решение. Здесь необходимо перейти к интегрированию от тела к , или их объединению .Поскольку V= , то V представляется в виде :

.

Тогда повторный интеграл I совпадает с тройным интегралом от функции , взятым по множеству V. Представим теперь множество V как объединение множеств:

.

Тогда V= , а внутренности не пересекается. По аддитивности тройного интеграла имеем:

Если представить множество V в виде объединения замкнутых тел с непересекающимися внутренностями:

,

,

то по аддитивности тройного интеграла получим

.

Отметим, что такие разбиения тeла можно осуществить геометрически, воссоздав тело V в пространстве, которое будет усеченной пирамидой.

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , если тело V ограничено поверхностями

Решение. Очевидно, тело V является криволинейным цилиндром 1-го типа, где и область , так как берем ограниченную часть тела. Его иллюстрация на рис.4 такова:

z

y

0

x

Рис.4. Криволинейный цилиндр примера 13.

Тогда . Как видим и здесь вычисление двойного интеграла сводится к повторным.