§12. Диполь. Поле диполя.
Электрическая
система, состоящая из двух равных по
абсолютной величине и противоположных
по знаку точечных зарядов, отстоящих
друг от друга на расстоянии, много
меньшем, чем расстояние до рассматриваемых
точек поля, называется электрическим
диполем. Диполь характеризуется двумя
величинами – это плечо диполя и дипольный
момент (рис. 5.1). Плечо диполя
- вектор, направленный от отрицательного
заряда к положительному, равный по
длине расстоянию между зарядами
.
Дипольный момент
является вектором, направленным от
отрицательного заряда к положительному
заряду, равный произведению плеча диполя
на положительный заряд
.
(12.1)
РИС
12.1
рис
12.2
Рассчитаем поле в точке А, расположенной на оси диполя, т.е. на прямой проходящей через заряды (рис. 12.2). В соответствии с принципом суперпозиции полей напряженность в произвольной точке поля диполя
,
(12.2)
где
и
—
напряженности полей зарядов
и
.
Векторы
и
направлены
также вдоль этой оси, но в противоположные
стороны. По формуле (2.2),
,
,
(12.3)
где
и
— радиусы-векторы, проведенные в точку
А из концов диполя
и
,
причем
и
;
и
совпадают по направлению с вектором
,
поэтому
и
.
(12.4)
Подставим выражения (12.4) в (12.3)
,
,
(12.5)
Учитывая (12.5), выражение (12.2) примет вид
.
(12.6)
Учитывая, что , получим
.
(12.7)
Если
,
то членом
по сравнению с
можно пренебречь. Тогда
;
(12.8)
численное значение напряженности
.
(12.9)
Рис.
12.3
Найдем напряженность поля диполя в точке В, расположенной на перпендикуляре, восставленном к оси диполя из его середины О (рис. 12.3). Точка В равноудалена от зарядов и . Поэтому
.
(12.10)
Треугольники BMN
и BCD
— равнобедренные, причем углы при
вершинах М
и N
BMN
и при вершинах В
и С
BCD
одинаковы и равны
.
Так как стороны ВМ
и BD,
а также BN
и DC
попарно параллельны, то стороны MN
и ВС
параллельны, т.е. вектор
противоположен по направлению
электрическому моменту диполя
:
.
(12.11)
Из рис. 2.3 видно, что числовое значение напряженности поля в точке В равно
.
(12.12)
Из
ВМО
имеем
.
Поэтому
.
(12.13)
Пренебрегая величиной по сравнению с , получим
.
(12.14)
Из (12.11) и (12.14) следует, что вектор напряженности поля в точке В равен
.
(12.15)
Рис.
12.4
Рассмотрим теперь
общий случай. Пусть точка С
лежит на расстоянии
от
середины О
диполя, причем радиус-вектор
образует с осью диполя угол
(рис. 12.4). Соединим пунктиром заряды
и
с точкой С
и опустим на прямую
NC перпендикуляр
да точки М.
Поместим в основании К
этого перпендикуляра два точечных
заряда
и
.
Расположенные в одной и той же точке
равные по величине и противоположные
по знаку заряды
и
полностью нейтрализуют друг друга и не
искажают поля диполя. Четыре заряда,
находящиеся в точках М,
N
и К,
можно рассматривать как два диполя (NK
и МК).
Ввиду малости расстояния
по сравнению с
угол CNM
.
Поэтому электрические моменты первого
и второго диполей соответственно равны:
,
.
(12.16)
Для первого диполя
точка С
лежит на его оси, а для второго — на
перпендикуляре, восставленном в средней
точке оси. По формулам (12.8) и (12.15)
напряженности
и
полей, создаваемых в точке С
каждым из диполей, равны
,
.
(12.17)
Векторы
и
и соответственно
и
взаимно перпендикулярны. Поэтому
численное значение напряженности поля
диполя MN
в точке С моменты первого и второго
диполей соответственно
.
(12.18)
Подставив сюда значения и из (12.16), получим
.
(12.19)
Формула (12.19)
охватывает все возможные случаи
расположения точки С.
При
она
совпадает с (12.9), а при
— с (12.14).