§40. Циркуляция вектора магнитной индукции.

Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру называется интеграл

, (40.1)

где — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; — составляющая вектора в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); — угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

, (40.2)

где п — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 40.1,

, (40.3)

рис. 40.1

Выражение (40.2) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе:

, (40.4)

где и соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L.

Следовательно, циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную.

Из теории известно, что циркуляция намагниченности по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:

, (40.5)

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде

, (40.6)

где - алгебраическая сумма токов проводимости.

Выражение, стоящее в скобках в (40.4), есть не что иное, как вектор напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:

. (40.7)

Выражение (40.7) представляет собой теорему о циркуляции вектора .

Сравнивая выражения (8.2) и (40.2) для циркуляции векторов и , видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био—Савара—Лапласа.

Воспользуемся теоремой о циркуляции вектора и рассчитаем магнитное поля прямого тока , перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 40.2). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса . В каждой точке этого контура вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора равна

, (40.8)

Согласно выражению (40.2), получим

, (40.9)

откуда

. (40.10)

рис. 40.2

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше с помощью закона Био-Савара-Лапласса (33.12). Формула (40.10) выведена для вакуума поэтому .

Рассмотрим, еще один пример применения теоремы о циркуляции вектора , и рассчитаем индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной , имеющий витков, покоторому течет ток (рис. 40.3). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный.

рис. 40.3

Приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь. Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA, как показано на рис. 40.3. Циркуляция вектора по замкнутому контуру АВCDА, охватывающему все N витков, согласно (40.2), равна

. (40.11)

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и . На участке вне соленоида В = 0. На участке DA циркуляция вектора равна (участок контура совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

. (40.12)

Из (40.12) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

. (40.13)

Формула (40.13) совпадает с выражением (33.26) полученным для поля соленоида с применением закона Био—Савара—Лапласа.

Получем выражение (33.27), воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора . Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиусом (рис. 40.4). Тогда, по теореме о циркуляции (40.2),

, (40.14)

где N — число витков тороида.

Из (40.14) следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме) равна:

. (40.14)

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и . Это означает, что поле вне тороида отсутствует.