§9. Потенциал и разность потенциалов электростатического поля.
Наряду с
напряжённостью, для характеристики
электростатического поля вводят ещё
одну физическую величину, называемую
потенциалом, которая является
энергетической характеристикой этого
поля. Заряды, помещённые в электростатическое
поле, обладают потенциальными энергиями.
Если в одну и ту же точку поля вносить
различные пробные заряды
,
то они будут обладать различной
потенциальной энергией
относительно некоторого нулевого
уровня. Однако отношение
для всех зарядов будет оставаться
одинаковым независимо от их величины.
Поэтому его принимают за характеристику
поля в данной точке. Обозначим это
отношение через
.
Тогда
,
(9.1)
т.е. потенциалом электростатического поля называется отношение потенциальной энергии, которой обладает заряд в некоторой точке поля, к величине этого заряда.
Из механики известно, что работа перемещения тела из одной точки потенциального поля в другую равна уменьшению его потенциальной энергии. Поэтому работа по переносу заряда из точки 1 в точку 2 будет равна:
,
(9.2)
где
и
- потенциальная энергия заряда в этих
точках. Из (9.1) следует
и
,
где
и
- потенциалы поля в указанных точках. С
учётом этого из (9.2) получаем
.
(9.3)
Отсюда
,
(9.4)
т.е. разностью потенциалов электростатического поля называется отношение работы, совершаемой силами поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую, к величине этого заряда.
Из формулы (9.4)
можно дать и иное определение потенциала.
Пусть заряд
переносится из произвольной точки поля
с потенциалом
в бесконечность, где потенциал условно
принимается за ноль, так как
электростатическое поле на большом
расстоянии от зарядов, создающих поле,
практически отсутствует, т.е.
и
.
Тогда
,
(9.5)
т.е. потенциал равен отношению работы, которую совершают силы электростатического поля при перемещении пробного заряда из данной точки в бесконечность, к величине этого заряда.
В системе единиц СИ разность потенциалов измеряется в вольтах (B).
1 В = 1 Дж/1 Кл, т.е. 1 В — разность потенциалов между двумя точками, при
переносе между которыми заряда в 1 Кл совершается работа 1 Дж.
В случае поля,
создаваемого точечным зарядом, согласно
формулам (8.1) и (9.2), получаем:
и
.
Отсюда
и
.
В данном случае выражения потенциальных
энергий содержат некоторую константу
,
поскольку в общем случае потенциальная
энергия определяется только с точностью
до постоянной величины. При подстановке
этих выражений в формулу (9.2) постоянная
величина
взаимно уничтожается. Таким образом,
потенциальная энергия заряда
,
находящегося в электростатическом поле
точечного заряда
,
записывается в виде
.
Величина
выбирается таким образом, чтобы при
удалении заряда на бесконечность
потенциальная
энергия обращалась бы в ноль, т.е.
.
Тогда
и
.
(9.6)
Подставляя это выражение в (9.1), получаем формулу, по которой рассчитывают потенциал в различных точках электростатического поля точечного заряда:
.
(9.7)
Если поле создано несколькими полями, то для расчета потенциала можно воспользоваться принципом суперпозиции:
,
(9.8)
т.е. потенциал поля созданного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданного каждым зарядом в отдельности. Знак потенциала совпадает со знаком заряда отдельных зарядов системы.
Если поле создано заряженной сферической поверхностью, то потенциал можно рассчитать с помощью следующего выражения
,
(9.9)
где - радиус сферы.