§ 46. Индуктивность контура. Самоиндукция.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био—Савара—Лапласа, пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току в контуре:

, (46.1)

где L — коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура.

Единица индуктивности генри (Гн): 1Гн — индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1А равен 1Вб.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией. Самоиндукция является частным случаем электромагнитной индукции.

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Согласно (41.4), полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен

.

Подставив это выражение в формулу (46.1), получим

. (46.2)

т.е. индуктивность соленоида зависит от числа N витков соленоида, его длины , площади S и магнитной проницаемости вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.

Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура — аналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров в диэлектрической проницаемости среды.

Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим, что ЭДС самоиндукции

. (46.3)

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L = const и

. (46.4)

где знак «—» обусловлен правилом Ленца, согласно которому наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то и , т.е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание. Если ток со временем убывает, то и , т. е. индукционный ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

Токи самоиндукции, вознкающие в цепи, называют экстратоками самоиндукции. По влиянием экстратоков самоиндукции, при выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с ЭДС , резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней ЭДС в цепи течет постоянный ток (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению ЭДС самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока.

В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома

,

или

. (46.5)

Разделив в выражении (46.5) переменные, получим

. (46.6)

Интегрируя это уравнение по (от до ) и t (от 0 до t), находим

, (46.7)

или

. (46.8)

где - постоянная, называемая временем релаксации. Из (46.8) следует, что есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (46.8) и определяется кривой 1 на рис. 46.1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

Рис. 46.1

При замыкании цепи помимо внешней ЭДС возникает ЭДС самоиндукции —, препятствующая возрастанию тока. По закону Ома,

, (46.9)

или

. (46.10)

Введя новую переменную , преобразуем это уравнение к виду

. (46.11)

В момент замыкания и . Следовательно, интегрируя по (от до ) и t (от 0 до t), находим

, (46.12)

или

. (46.13)

где — установившийся ток (при ).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (46.13) и определяется кривой 2 па рис. 46.1. Сила тока возрастает от начального значения = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению . Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение ЭДС самоиндукции, возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от до . Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (46.8). Подставив в нее выражение для и , получим

. (46.14)

ЭДС самоиндукции

. (46.15)

т.е. при значительном увеличении сопротивления цепи ( ), обладающей большой индуктивностью, ЭДС самоиндукции может во много раз превышать ЭДС источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных ЭДС самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то ЭДС самоиндукции не достигнет больших значений.