§48. Энергия магнитного поля.

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает в окружающем пространстве магнитное поле, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Изветно, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток . С данным контуром сцеплен магнитный поток , причем при изменении тока на магнитный поток изменяется на . Однако для изменения магнитного потока на величину необходимо совершить работу

. (48.1)

Тогда работа по созданию магнитного потока будет

. (48.2)

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром,

. (48.3)

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случаи — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (48.3) выражение (46.2), получим

. (48.4)

Так как и , то

. (48.5)

где — объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри пего, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью.

. (48.6)

Выражение (48.6) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (19.8) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (48.6) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (48.6) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.

§49. Электромагнитная теория Максвелла.

Анализируя законы электромагнетизма и явления электромагнитной индукции, Максвелл выдвинул две гипотезы, позволившие ему создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория не только сумела объяснить все известные до него опытные законы, но и предсказала существование электромагнитного поля и электромагнитных волн. Теория Максвелла в дальнейшем получила блестящее подтверждение в опытах Герца, Попова и других и явилась новым этапом в развитии естествознания. Рассмотрим гипотезы Максвелла о существовании вихревого электрического поля и тока смещения.

Из закона Фарадея для электромагнитной индукции (43.1)

следует, что при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего площадь, охватываемую проводником, в нём возникает ЭДС индукции, под действием которой в проводнике появляется индукционный ток, если проводник замкнутый. Однако ЭДС в любой цепи возникает лишь в том случае, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы, т.е. силы не электростатического происхождения. Поэтому правомерен вопрос о природе сторонних сил, создающих ЭДС индукции.

Для объяснения ЭДС индукции Максвелл выдвинул гипотезу, что переменное магнитное поле создаёт в окружающем пространстве электрическое поле. Силовые линии магнитного поля концентрически охвачены силовыми линиями электрического поля (рис. 49.1). Такое электрическое поле — с замкнутыми силовыми линиями — называется вихревым полем. Это поле действует на свободные заряды проводника, приводя их в упорядоченное движение, т.е. создавая индукционный ток.

Рис. 49.1

По Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле , циркуляция которого равна

, (49.1)

где — проекция вектора на направление .

Подставив в формулу (49.1) выражение

,

получим

. (49.2)

Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,

, (49.3)

где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл является функцией только времени.

Выражение (49.3) одно из уравнений Максвелла, говорящее о том, что элекрическое поле порожается магнитным.

Второе предположение, высказанное Максвеллом – это то, что переменное электрическое поле вызывает возникновение магнитного поля. Для установления количественных отношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, одержащую конденсатор (рис. 49.2). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости ( ) и смещения ( ) равны:

.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

, (49.4)

(поверхностная плотность заряда на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе). В общем случае индукция электрического поля может зависеть от координат и времени. Поэтому в выражении (49.4) производную мы заменили частной производной по времени. Подынтегральное выражение в (49.4) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения , когда и взаимно параллельны. Поэтому для общего случая можно записать

. (49.5)

Сравнивая это выражение с , имеем

. (49.6)

Выражение (49.6) было названо Максвеллом плотностью тока смещения.

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Следует отметить, что название «ток смещения» является условным, а точнее исторически сложившимся, так как ток смещения по своей сути — это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения, поэтому, существует не только в вакууме но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. На основании этого Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения. Плотность полного тока

. (49.7)

Введя понятия тока смещения и полного тока, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда замкнут, т.е. на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости.

Используя формулу (49.7) можно получит обобщенную теорему о циркулции вектора

. (49.8)

Выражение (49.8) это еще одно из уравнений Максвелла, из которого видно, что источниками магнитного поля могут быть либо движущиеся заряды (электрические токи) , либо переменные электрические поля .

Третьим уравнением, вошедшим в систему уравнений Гаусса, является теорема Гаусса для поля электрического поля:

. (49.9)

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то формула (49.9) запишется в виде

. (49.10)

Данное уравнение утверждает, что электрическое поле создается электрическими зарядами.

Еще одним уравнением Максвелла является теорема Гаусса для магнитного поля

, (49.11)

сообщающее о том, что в природе не существует магнитных зарядов.

Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

,

, (49.12)

,

.

Эти уравнения, лежащие в основе электромагнетизма, можно дополнить выражениями, связывающими величины, входящие в уравнения

,

,

.

Рассмотрим, какой вид примут уравнения Максвелла для стационарных электрического и магнитного полей. В первом уравнении диферениал , следовательно оно принемает вид

. (49.13)

Во втором уравнении , следовательно уравнение запишется так

, (49.14)

Выражение рационально записать в форме (49.9). Последнее уравнеие останется без изменения. Система уравнений Максвелла для стационарных полей:

,

, (49.15)

,

.

Из системы (49.15) видно, что источниками электрического поля в являются только электрические заряды, а источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Воспользуемся известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

, (49.16)

, (49.17)

здесь - ротор (вихрь) вектора

, (49.18)

- дивергенция (расхождение) вектора

. (49.19)

Представим полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

,

, (49.20)

,

.

Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.