§48. Запаздывающая функция Грина уравнения Даламбера.

Запишем уравнение Даламбера:



где , а - источники.

Под понимаем

Под понимаем ,

Т.к. любое поле раскладывается по плоским монохроматическим волнам, то мы будем решение уравнения Даламбера искать в виде:

Значит , где - волновое число.

Тогда:



Т.е. оператор Даламбера переходит в оператор Гельмгольца. Тогда:

(**)

Если источник , тогда решение имеет вид _..

В общем случае можно записать разложение через интеграл Фурье:

Решение (**) можно записать через функцию Грина:

Здесь первое слагаемое – частное решение неоднородного уравнения(представляет большой интерес, т.к. здесь стоят источники поля ). Второе слагаемое – общее решение однородного уравнения.

Функция Грина , тогда:



Мы будем рассматривать случай неограниченного пространства, где:

Временно введём обозначение: , тогда . Функцию Грина можно разложить в интеграл Фурье:

;

Тогда - есть функция Грина уравнения Гельмгольца. Т.е. получается, что фурье-образ функции Грина уравнения Даламбера есть функция Грина уравнения Гельмгольца.

Теперь получим полное выражение для функции Грина уравнения Даламбера:

- это разложение в интеграл Фурье -функции, где

Мы получили разложение функции Грина для уравнения Даламбера. Это запаздывающая функция Грина.

Запаздывающая функция Грина удовлетворяет принципу причинности.

Делаем обратную замену, т.е. и , :

, где

В силу свойства -функции при , тогда решение приобретает физический смысл при .

- точка источника.

- точка наблюдателя.

За какое время дойдёт сигнал из в , если сигнал распространяется со скоростью :

Чтобы информация от источника попала вовремя к наблюдателю нужно, чтобы

В этом и есть физический смысл , для которого удовлетворяется принцип причинности.

§49. Теорема Пойнтинга с учётом диссипации для среды.

Умножим третье уравнение Максвелла скалярно на , а четвёртое скалярно на и вычитая из третьего уравнения четвёртое получим:

где , и . Тогда:

-Теорема Пойнтинга в полном виде.

Третье слагаемое описывает процессы диссипации.

, тогда - закон Джоуля-Ленца.

§50. Пространственно-временная дисперсия в электродинамике.

Время релаксации - время установления равновесия при изменении поведения зарядов при наложении на систему зарядов внешнего поля.

Включение или выключение поля не мгновенно изменяет состояние системы зарядов, а требуется некоторое время.

На рисунке 1 было поле , в момент времени поле отключили. Тогда на рисунке 2 приведено изменение поляризации системы.

- время, за которое исследуемая величина убывает в раз. Если , где - время, в течение которого поле меняется существенно, то можно считать, что исследуемая величина спадает мгновенно

Но часто бывает иначе. Для описания того, что с исчезновением поля величина спадает не сразу, используется временная дисперсия:

Если диэлектрические свойства стационарны по времени, то

Для общего случая:

, где - тензор

Аналогично, пространственная дисперсия – это влияние поля в соседних точках пространства на поляризацию в данной точке:

Для среды, однородной по диэлектрическим свойствам вводится

Размерность

В общем случае имеем пространственно-временную дисперсию:

Интегрирование по на , по на

Для однородной стационарной среды:

- интегральный оператор, а - ядро этого интегрального оператора.