§10. Тензоры и их свойства.

Запись преобразований тензора 2-го ранга при вращении.

Пусть у нас есть монокристалл определённого вещества. Существует набор преобразований, при которых его свойства инвариантны. Операции симметрии можно задать матрицами ортогональных преобразований

Оператор принадлежит к симметрическим операторам. Итак, условие инвариантности:

Для монокристалла орторомбической системы:

Оси выбираются к характерным направлениям в кристалле.

Для монокристаллов гексагональной системы:

Для кубической:

§11. Потенциалы электромагнитного поля в среде.

Усредним:

§12. Калибровка Лоренца в случае однородной изотропной среды.

Калибровка Лоренца в случае вакуума:

В случае однородной изотропной среды калибровка Лоренца примет вид:

§13. Уравнение Даламбера (без учёта пространственной дисперсии).

Запишем уравнения Максвелла:

Здесь и - числа, а векторы и , и коллинеарные.

Для однородных изотропных сред имеем:

Используем Калибровку Лоренца





Мы получили уравнение Даламбера для скалярного потенциала электромагнитного поля в случае однородной изотропной среды.



Запишем 4-ое уравнение Максвелла в среде без учёта пространственной дисперсии:

из (1) и (2) следует:

из (3) и (4) следует:

Используем то, что среда однородна и изотропна и запишем 4-е уравнение Максвелла:

Сгруппируем элементы, подчёркнутые двумя линиями:

в скобках, даёт нуль.

Теперь сгруппируем элементы, подчёркнутые одной линией. В результате получаем:





В итоге мы получили уравнение Даламбера для векторного потенциала электромагнитного поля в случае однородной изотропной среды.

§14. Поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред.

Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:

Теорема Остроградского-Гаусса:

т.е. совершается следующий переход:

Теорема Стокса:

Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:

Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.

- нормаль к поверхности.

- скачок функции на границе раздела двух сред.

Рассмотрим цилиндр, образующие которого перпендикулярны поверхности . По объёму проинтегрируем первое уравнение Максвелла:

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

При а следовательно и

В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.

Аналогично:

Тогда:

В пределе, при ,

- заряд на поверхности раздела двух сред

Пусть в пределе , при этом

В результате получаем:

Если на поверхности нет свободных зарядов, то и , т.е. - непрерывна.

Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла

Получим

Т.е. - всегда непрерывна, её скачок всегда равен нулю.

Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла

Тогда по теореме Стокса:

Рассмотрим левую часть этого равенства:

Второе слагаемое, при даёт 0.

- ток, протекающий через поверхность , причём ток положителен в направлении нормали

При

Воспользуемся теоремой о среднем:

Рассмотрим предельный переход при , тогда

- поверхностный ток, текущий через перпендикулярно чертежу.

При - ток, текущий по поверхности, в расчёте на длину.

В результате получаем:

Если , то - непрерывна.

Аналогично для третьего уравнения Максвелла:

Имеем:

Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.

Определим

тогда

Ввиду произвольности , это выражение эквивалентно выражению: