§20. Теорема взаимности в электростатике.

На языке функции Грина:

Смысл теоремы: Потенциал, создаваемый в точке точечным источником, помещённым в точку равен потенциалу, создаваемому в точке тем же точечным источником, помещённым в точку .

На языке операторов:

* - комплексное сопряжение

T- транспонирование

§21. Функция Грина в случае неограниченной области.

Рассмотрим случай:

Влияние границы отсутствует.

, т.е. мы можем помещать и в любое место пространства.

Получим Фурье-образ и саму функцию Грина. Рассматриваем случай изотропной среды.

Для удобства, временно примем обозначение .

Тогда:

Запишем для и разложение в интеграл Фурье:

Здесь - фурье-образ, а - элементарный объём в -пространстве.

фурье-образ -функции равен

Рассмотрим левую часть этого равенства. Лапласиан действует на , значит, нам надо рассчитать

Т.е. переходит в , тогда получим:

тогда

Переход в -пространство переводит дифференциальное уравнение в алгебраическое.

Этот интеграл можно взять, используя теорию вычетов. Получаем:

Производим обратную замену :

§22. Оператор трансляции.

Разложим функцию вблизи точки :

Теперь, если , тогда:

Оператор действуя на переводит её в

- вектор трансляции.

Тогда оператор трансляции

§23. Потенциал системы зарядов.

Частное решение уравнения Пуассона:

Здесь , а есть интегральный оператор, ядро которого есть функция Грина.

В точке источник, а - точка наблюдения, где мы считаем потенциал.

Для неограниченных областей имеем:

Т.е. пространство становится однородным, так как нет границ и начало отсчёта можно выбрать где угодно.

Формула (*) позволяет рассчитать потенциал по заданному распределению заряда. Затем посчитать напряжённость .

Теперь рассмотрим систему из точечных зарядов:

Здесь - точки, где расположены заряды.

Но по определению -функции:

Окончательно имеем:

§24. Электрические (дипольный и квадрупольный) моменты.

Таким образом, мы обобщили дипольный момент на систему из точечных зарядов.

Перейдём от точечных зарядов к :

задаёт распределение зарядов. - дипольный момент системы зарядов, он характеризует распределение зарядов в пространстве.

Тензор квадрупольных моментов - тензор второго ранга.

Сумма диагональных элементов , покажем это:

Рассмотрим :

Пусть , тогда (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование): ,

И мы получаем, что или

Покажем, что сферически-симметричный заряд имеет тензор :

Так как заряд сферически симметричен, то , т.е. зависит только от , но тогда

§25. Электрическое поле системы зарядов на больших расстояниях.

Пусть задано некоторое распределение заряда , выберем начало отсчёта внутри заданного объёма.

• -точка наблюдения, в ней будем считать потенциал.

Здесь, ради получения аналитического выражения пойдём на приближение: точка наблюдения далека по сравнению с объёмом системы зарядов.

Разложим функцию в ряд Тейлора:

_{Мы используем несколько членов этого разложения, кол-во которых зависит от требуемой точности и от малости}

Под интегралом стоит . Для имеем:

Рассмотрим

Тогда

Здесь

Рассмотрим некоторые члены этого разложения:

Первый член:

- это кулоновский потенциал (заряд сосредоточен в точке начала координат).

Второй член:

сам интеграл даёт дипольный момент системы:

- потенциал, который создаёт в точке наблюдения диполь , расположенный в точке начала координат

Третий член:

Рассмотрим

Последнее слагаемое при интегрировании даст нуль, т.к.

Вспомним выражение:

При получаем:

Здесь точка наблюдения не лежит в объёме с зарядами, тогда всегда.

Тогда при интегрировании даст нулевой вклад. В результате получаем:

Полученный интеграл – это

Мы получили потенциал квадрупольного типа. Можно дальше рассматривать члены разложения, разлагаем по мультипольным моментам. Когда оборвать ряд зависит от малости .

, имеет порядок

Чем меньше этот параметр, тем меньше членов надо учитывать в разложении.