§30. Задача о расчёте поля внутри эллипсоидальной полости в однородно-поляризованном диэлектрике.

Имеется в виду, что до вырезки полости, этот диэлектрик был однородно поляризован

В точке результирующее поле равно полю, которое создаёт диэлектрик без этой полости плюс поле, создаваемое диэлектриком с противоположной поляризацией: заполняющим полость:

Найдём поле в полости: =

= .

В случае сферической полости , тогда :

В случае бесконечно-длинного цилиндра:

где

В случае сплющенной шайбы:

где - третья компонента индукции, а .

§31. Система зарядов во внешнем электростатическом поле.

Р ассмотрим распределение зарядов в электростатическом поле, которое зависит от координат.

Есть область, где распределён заряд, эту область пронизывают силовые линии поля. Потенциальная энергия этой системы:

здесь , где - точка наблюдения. - внутри области, она фиксирована, точка с зарядом – это , тогда:

и , где - характерный параметр (из вопроса о потенциале в бесконечно удалённой точке).

Напишем разложение функции в точке :

Тогда:

-интегрируем по

Рассчитаем

где - суммарный заряд.

Используем метод из задачи о вычислении потенциала системы зарядов:

Здесь - квадрупольный момент.

Каждый последующий член разложения этого ряда относится к предыдущему члену как .

§32. Энергия взаимодействия двух электрических мульти-полей.

1.

Рассмотрим случай, когда создаётся точечным зарядом, тогда , и:

-энергия взаимодействия двух точечных зарядов.

Но в силу того, что получаем:

-энергия взаимодействия точечного заряда и диполя

где - единичный вектор в направлении вектора .

Тогда получаем:

величина

величина

здесь значок «_~» означает «порядок»

2.

Пусть диполь создаёт поле и потенциал:

Энергия взаимодействия:

- это имеет порядок такой же как и

-энергия взаимодействия двух диполей.

Тогда имеем формулы:

Т.е. можно ограничиться первым слагаемым при рассмотрении системы зарядов.

Замечание к формуле :

Т.е. это энергия диполя во внешнем поле (взаимодействие).

§33. Векторный потенциал системы стационарных токов.

Так как токи и поля стационарные, то происходит разделение в уравнениях Максвелла электрического и магнитного полей:

Для потенциала тогда получим (с учетом калибровки Кулона):

Частное решение этого уравнения можно найти через функцию Грина:

Пусть ищем потенциал в точке , тогда

Переход к неограниченной среде даёт:

Тогда имеем:

В выражении оператор действует на , тогда его можно внести под знак интеграла:

Система движущихся зарядов – частный случай. Плотность тока .

Тогда :

где - скорость заряда в точке .

Тогда:

Это векторный потенциал системы перемещающихся точечных зарядов. Здесь заряды движутся с , т.е.

§34. Магнитный дипольный момент системы токов.

По замкнутому контуру течёт ток . Магнитный момент . Коэффициент пропорциональности в этом выражении в Гауссовой системе единиц равен :

Р ассмотрим частный случай:

В этом случае возникает площадка .

Пусть - радиус-вектор точечного заряда, - траектория его движения, тогда:

Пусть рассматриваемый заряд имеет величину , тогда - скорость заряда движущегося по траектории , тогда:

Эта формула позволяет провести обобщение на систему зарядов, тогда:

Это формула для элементарного магнитного момента. Значит, магнитный момент некоторой системы токов будет:

Если есть система движущихся точечных зарядов, то: