17 Сущность и значение средних величин

В результате группировки единиц совокупности по величине варьирующего признака получают ряды распределения – первичную характе-ристику массовой статистической совокупности. Чтобы охарактеризовать такую совокупность в целом, часто пользуются средней величиной.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

В отличие от средней, абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака единиц, относящихся к разным совокупностям.

При вычислении средних величин должны соблюдаться следующие требования:

1) расчеты должны проводиться на основе массовых достоверных данных;

2) расчет должен проводиться по качественно однородной совокупности;

3) исходные данные при расчете средней величины должны быть сравнимы.

Средняя величина характеризует общую меру значений признака у единиц совокупности только при конкретных условиях, т.к. при изменениях условий изменится и величина средней.

18 Виды средних и способы их вычисления

Выбор способа расчета средней величины зависит от характера взаимосвязи изучаемых явлений и от тех данных, которыми располагает исследователь. Правильность выбора того или иного вида средней определяется тем, что при замене всех вариант средней величиной общий объем варьирующего признака должен остаться неизменным.

Средние величины делятся на два больших класса:

1) степенные средние; к ним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя квадратическая;

2) структурные средние, в качестве которых рассматривается мода и медиана.

2.1 Степенные средние.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя вычисляется по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным, представ-ленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором изменяется варианта;

m – показатель степени средней;

f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

19Средняя арифметическая.

Если имеется несколько различных индивидуальных величин одного и того же вида и надо исчислить среднюю, то необходимо найти сумму всех индивидуальных величин и поделить получаемую сумму на их число.

Обозначим индивидуальные значения признака через , число индивидуальных величин - , среднюю - . Тогда средняя арифметическая простая вычисляется по формуле

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается один раз, одинаковое число раз. Но чаще бывает так, что отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, т.е. представляют собой ряд распределения. В этих случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную. Техника ее расчета заключается в следующем:

а) каждая варианта умножается на соответствующую частоту ( );

б) затем эти произведения суммируются ;

в) полученная сумма делится на сумму частот ( ).

.

Умножение называется взвешиванием.

Вычисление средней арифметической интервального ряда имеет некоторые особенности. Для того, чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем – среднюю для всего ряда.

Свойства средней арифметической.

1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин:

.

2. Сумма отклонений всех значений признака от средней арифметической равна нулю:

.

3. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число , то средняя уменьшится или увеличится на это же число :

.

4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в раз, то средняя также соответственно уменьшится или увеличится в раз:

.

5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число , то средняя не изменится:

.

Это свойство показывает, что средняя не зависит от размеров весов, а от соотношения между ними. Следовательно, в качестве весов могут выступать не только абсолютные, но и относительные величины.

20 Средняя гармоническая.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известны значения признака и производные показатели , которые представляют собой произведение значения признака на число единиц, т.е. .

Средняя гармоническая простая используется в тех случаях, когда данные ряда распределения не сгруппированы и веса средней равны между собой:

, где n – число единиц совокупности.

Средняя гармоническая взвешенная используется в случае вариационных рядов сгруппированных данных, в которых веса средних различны:

.

Средняя геометрическая.

Она используется в тех случаях, когда необходимо вычислить средний темп изменения явления за какой-то период времени, если известны темпы изменения явления за каждый код внутри рассматриваемого периода.

, где - темпы изменения явления за каждый год; - число значений признака.

Средняя геометрическая взвешенная: .

Средняя квадратическая.

В тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Средняя квадратическая простая рассчитывается путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число: . Средняя квадратическая взвешенная равна .

Средняя хронологическая.

Она вычисляется в тех случаях, когда необходимо определить среднее значение для моментного ряда распределения (с равными интервалами). Моментный ряд распределения формируется из значений признаков изучаемого явления на определенный момент времени.

, где - количество или число значений признака.