Вариант 5

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

• Москва – столица Российской Федерации.

• Студент физико-математического факультета педагогического института.

• Треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.

• Луна есть спутник Марса.

2. Пусть через A обозначено высказывание «9 делится на 3», а через B – высказывание «8 делится на 3». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ;

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула выполнима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в истинное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Упростите систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Если я поеду автобусом (А), а автобус опоздает (В), то я пропущу назначенное свидание (С). Если я пропущу назначенное свидание и начну огорчатся (D), то мне не следует ехать домой (Е). Если я не получу работу (Р), тоя начну огорчатся и мне следует поехать домой. Следует ли тогда, что если я поеду автобусом и автобус опоздает, то я получу работу?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Один из знатоков алгебры логики, приглашая к себе в гости приятеля, решил проверить его способности в решении логических задач. Он так охарактеризовал принцип действия своего четырехкнопочного кодового замка: «Замок открывается, если выполняются следующие четыре условия:

– если не нажата кнопка 3, то нужно нажать кнопку 1 и не нажимать кнопку 4;

– если нажать кнопку 4, то нужно нажать кнопку 3 и не нажимать кнопку 2;

– не верно, что нужно нажать кнопку 2 или не нажимать кнопку 3, и все это при том, что не нажата кнопка 4;

– не нажимая кнопку 4, нажать кнопку 1 и кнопку 3».

Приятель знатока решил задачу. Чему равно это решение?