Вариант 6

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

• Число n делится на 2 или на 3”.

• Этот треугольник равнобедренный и прямоугольный.

• x < 2, x R (Вещественное число x меньше двух).

• На контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой.

2. Пусть через A обозначено высказывание «7 делится на 3», а через B – высказывание «4 делится на 2». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ; .

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула опровержима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в ложное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Для системы высказываний найдите логически эквивалентную ей, но более простую систему высказываний, если известно, что в данной системе по меньшей мере одно высказывание истинно:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Саша или подготовит доклад по литературе (А), или реферат по истории (В). Если подготовит доклад по литературе, то он получит отличную отметку (С). Он не получил отличную отметку. Следует ли отсюда, что он не подготовил реферат по истории?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник – параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Четверо друзей – Андрей, Борис, Сергей и Дмитрий – решили пойти на рыбалку. Но Дмитрий в последний момент отказался и высказал следующие предположения:

– Андрей не пойдет на рыбалку, но Борис обязательно пойдет.

– Не верно, что пойдут Андрей и Сергей.

– Борис пойдет на рыбалку или не пойдет Сергей.

– Если пойдет Борис, то пойдет на рыбалку и Сергей.

Если предположить, что все высказывания Дмитрия оказались истинными, кто пошел на рыбалку?