3. Линейные ду первого порядка

  Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

(4)

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. 

  Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

(5)

 Такого типа дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

,

     Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяется основном метод Бернулли.   Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций  y=uv, где u=u(x), v=v(x)—некоторые функции от x, тогда y^/=u^/v+uv^/. Этот метод более подробно рассмотрен в практической части.

 

  Практическая часть

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение: y′tgx=1+y, если при ;

Решение. Уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, где f₁(x)=tgx, f₂(y)=1+y.

ln|1+y|=ln|sinx|+C_1,

1+y=sin x ,

y=Csin x-1.

Находим С, подставляя в данное равенство начальные данные условия.

С=1.

Таким образом,

y=sin x-1.

Ответ: y=sin x-1.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Заданное уравнение имеет вид (3), т.е. является однородным диф. уравнением первого порядка. Приведем его к виду (4):

Пусть тогда и уравнение привет вид:

т.к. то

-- общее решение заданного уравнения.

Ответ: _.

Пример 3. Решить уравнение (x²-2y²)+2xy =0

Решение. (x²-2y²)+2xy =0.

(x²-2y²)dx+2xydy=0.

В данном уравнении функции P(x, y)=x²-2y², Q(x, y)=2xy – однородные второго измерения, следовательно, данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Положим, у=ux, откуда:

dy= udx+x du.

Уравнение примет вид:

x²dx-2(zx)²dx+2x ux(u dx+x du)=0,

x²dx-2u²x²dx+2u²x²dx+2ux³du=0,

dx+2uxdu=0,

,

, ,

Учитывая, что u=y/x, находим общий интеграл

Ответ:

  Пример 5.  Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение имеет вид (4), т.е. является линейным уравнением. Пусть

y=uv, y^/=u^/v+uv^/. Тогда уравнение примет вид:

(6)

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е.

,

,

Интегрируя равенство, получим

,

.

Подставим полученное решение в (6).

.

Итак, общее решение .

Ответ:

 

Практические задания

1-2-- Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными.

3-- Найти частное решение ДУ с разделяющимися переменными.

4--Найти общее решение однородного ДУ первого порядка.

5-- Найти общее решение линейного ДУ первого порядка.

1 вариант ydy=x3dx. xydy=(y2-1)dx ydx+ctg xdy=0, если у=1 при . y/+2xy=2xy3	2 вариант 4y2dx=x2dy. x2dx=ydy. (1+x)ydx=(y-1)xdy, если у=1 прих=1. ydx+(x+y)dy=0. y/+ycosx=sin2x
3 вариант x3dx=(y-1)dy. (x+3)dy=(y-1)dx. x2dy-y2dx=0, если у=1 при х=0,2.	4 вариант . dy+y tg xdx=0. x2dy- y3dx=0, если у=1 при х=-1. . .
Вариант 5 xdy=ydx y/=sin5x, y(π/2)=1 y/+y=e-x	Вариант 6 xdy=y4dx xyy/=1-x y/=6 dx yy/-2y+x=0 xy/+y=sinx
Вариант 7 x2dy-dx, y(1)=2 y/+2xy=2x3	Вариант 8 (2-y)dy=xdx , если у=4 при х=0 (3x2-y2)y/=2xy xy/+y=x+1
Вариант 9 y/-3xy=0 xdy+y3dx=0 , если у=1 при х=1. 2xyy/=x2+y2 y/-ysinx=sinxcosx	Вариант 10 , если у=0 при х=1 x2y/=y2-xy+x2
Вариант 11 ydy=exdx , если у=1 при х=0. (x-y)ydy-x2dy=0 xy/+y=3	Вариант 12 x3dx=(3-y)dy y2dx=exdy, если у=1 при х=0. xy2y/=x3+y3 xy/-3y=x4ex
Вариант 13 xydх-(2+x2)dy=0. 1+y2=xyy/, y(2)=1 x3dy-y(x2+y2)dx=0. xy/-y-x3=0	Вариант 14 y/+y=5 x2dy+(y-3)dx=0 cosxsinydy=cosysinxdx, y(π)=π. x2y/=xy+y2 y/-3xy=2xy2

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Как определить порядок диф. уравнения?

3. Что называется общим решением диф. уравнения? Частным?

4. Диф. Уравнения с разделяющимися переменными. Алгоритм их решения.

5. Однородные диф. уравнения первого порядка. Алгоритм их решения.

6. Линейные диф. уравнения первого порядка. Алгоритм их решения (Метод Бернулли).

Практическая работа №25

«Решение ДУ высших порядков»

Цель работы: развить навыки решения ДУ высших порядков двух видов: уравнений, допускающих понижение порядка, и линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теоретическая часть

  Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

 В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y⁽ⁿ⁾:

 Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

  Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

  Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.