Практические задания
Построить графики функции:
y=x ln x. 8)
y=(x-1)ex. 9)
10)
11)
12)
13)
14)
Контрольные вопросы:
Какая функция называется возрастающей? Убывающей?
Сформулируйте условия возрастания и убывания функции.
Что называется стационарной точкой? Критической точкой первого?
Сформулируйте первое достаточное условие существования экстремума.
Сформулируйте теорему Ферма.
Сформулируйте необходимое условие наличия точки перегиба
Алгоритм исследования и построения графика функции.
Практическая работа №14
« НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
Цель работы: Сформировать навыки нахождения неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования, замены переменной, интегрирования по частям.
Теоретическая часть.
Пусть функция у=F(х) (1) имеет производную f(x), тогда ее дифференциал
dy=f(x)dx.
Функция (1) по отношению к ее дифференциалу называется первообразной.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке X, называется неопределенным интегралов от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx.
,
где С – некоторая постоянная.
Определение 3. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой кривой параллельным переносом вдоль оси Oy.
Свойства неопределенного интеграла
1)
(∫f(x)dx)′
=f(x). 4)
.
2) d
. 5)
.
3)
.
Таблица некоторых интегралов
1)
,
10)
2)
,
11)
3)
12)
4)
13)
5)
14)
6)
15)
7)
16)
8)
17)
9)
18)
Практическая часть
Непосредственное интегрирование
Этот метод в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Пример 1.
Решение. Применим правило интегрирования (4) и (5), а также табличные интегралы (1) и (2):
.
Пример 2.
Решение. Применим табличный интерал (14), предворительно преобразав подинтегральное выражение.
.
Замена переменной
Теорема:
Если требуется найти интеграл
,
но сложно отыскать первообразную, то с
помощью замены x
= (t)
и dx
= (t)dt
получается:
Пример 3.
(3x-5)7dx
Решение. Положим, 3х-5=t, тогда 3dx=dt, dx=1/3dt. Следовательно,
(3x-5)7dx=
t7∙
dt=
Пример 4.
Решение. sin5x dx= sin4x∙sin xdx= (1-cos2x)2∙sin xdx.
Положим, cos x=t, тогда -sin xdx=dt, или sin xdx= -dt. Следовательно,
sin5dx= - (1-t2)2dt= - (1-2t2+t4)dt= -t+2/3t3-1/5t5+C.
Пример 5. Найти неопределенный интеграл: .
Решение.
.
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv) = uv + vu
где u и v – некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав,
получаем:
,
или
;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Пример
6.
.
Решение.
Пример
7.
.
Решение.
.
Как видно, нужно еще раз применить интегрирование по частям:
.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
Практическая работа
Интегралы 1-3 найдите непосредственным интегрированием.
Интегралы 4-6 найдите подстановкой.
Интегралы 7-8 найдите интегрированием по частям.
В-1
|
Вариант 2 |
Вариант 3
|
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9
|
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Контрольные вопросы:
Что называется первообразной функции?
Что называется неопределенным интегралом?
В чем заключается геометрический смысл неопределенного интеграла?
Свойства неопределенного интеграла.
В чем заключается смысл замены переменной в неопределенном интеграле?
В чем заключается смысл интегрирования по частям?
Практическая работа № 15