Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Рассмотрим несколько случаев применения определенного интеграла для нахождения площадей плоских фигур.
1. Пусть на отрезке [a;b] дана непрерывная неотрицательная функция y=f(x).
представляет собой
площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции y=f(x),
прямыми х=а, х=b
и осью Ох. В этом и состоит геометрический
смысл
определенного интеграла.
Т.е.
(1)
2.
Фигура ограничена графиком непрерывной
неположительной функции, прямыми х=а,
х=b
и осью Ох. Тогда
(2)
Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке функциями y=f(x) и y=g(x) и прямыми х=а, х=b, где
.
Тогда
(3)
4.
Фигура прилегает к оси ординат и
ограничена непрерывной кривой x=f(y),
прямыми
х=а, х=b
и осью Оу. Тогда
(4)
.
Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую,
заданную уравнением y
= f(x).
Предположим, что функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,
b].
Если соответствующую ей криволинейную
трапецию с основаниями а и b
вращать вокруг оси Ох, то получим так
называемое тело
вращения.
Т.к.
каждое сечение тела плоскостью x
= const
представляет собой круг радиуса
,
то объем тела вращения может быть легко
найден по полученной выше формуле:
(5)
Если
же необходимо найти объем тела, полученного
вращением графика непрерывной на
отрезке [a,
b]
функции у=f(x)
вокруг оси Оу, то применяем формулу
(6)
Y
d y=f(x)
c
Х
Вычисление пути, пройденного точкой
Если
точка движется прямолинейно и ее скорость
v=f(t)
есть известная функция временны t,
то путь пройденный точкой за промежуток
времени
,
вычисляется по формуле
(7)
Работа переменной силы
Если
переменная сила F=F(x)
действует в направлении оси Ох, то работа
силы на отрезке
вычисляется
по формуле
(8)
Практическая часть
Пример
1. вычислить
площадь тела ограниченной области,
лежащей между графиками
и
.
Решение. Построим графики данных функции по точкам. Эти графики имеют две общих
точек. х1 =0, х2=1. При этом график функции находится выше графика функции (см. рисунок).
-
Значит, по
формуле (3) площадь области
между
графиками равна
Пример 2. Вычислить объем тела, полученного от вращения графика функции
[1;3] вокруг оси Ох.
Решение. Используем формулу (5)
Пример 3. Скорость движения точки изменяется по закону v=(t2+4t-2) м/с. Найдите путь пройденный точкой за 6с от начала движения.
Решение. По условию f(x)=(t2+4t-2), t1=0, t2=6. По формуле (7) имеем:
Пример 4. Вычислите работу, произведенную при сжатии пружины на 0,03 м, если для сжатия ее на 0,02 м нужна сила 10 Н.
Решение. Согласно закону Гука F=kx. Т.к. х=0,02 при F=10Н, то
.
Подставляя значение k
в закон Гука, имеем: f(x)=500x.
По формуле (8) имеем:
(Дж)
Практические задания
Вариант №1
а)
б)
|
Вариант №2
а)2x-y+3=0, y=0, x=3, x=1
б)
|
Вариант №3
a) y=x2, y=0, x=1, x=3.
б)
|
Вариант №4
a)
б)
V=9,8t. Какой путь пройдет тело за первые 10 с падения?
|
Вариант №5
a)
б)
v=(5t2-t-1) м/с. Найдите путь пройденный точкой за 8 с от начала движения.
|
Вариант №6
a) y=x3, y=0, x=-2, x=2.
б)
|
Вариант №7
а)
б)
|
Вариант №8
а) y=-x2+x+6, y=0.
б)
V=9,8t. Какой путь пройдет тело за первые 5 с падения?
|
Вариант №9
а)y=2cosx,
б)
v=(3t-t2+4) м/с. Найдите путь пройденный точкой за 5с от начала движения.
|
Вариант №10
а) xy=4, x=4, x=8. б) y=2+4x-x2, y=x2-2x+2.
|
Вариант №11
а) y=lnx, x=5, y=0.
б)
|
Вариант №12
а) y=6x-x2, y=0
б)
V=9,8t. Какой путь пройдет тело за первые 12 с падения?
|
Вариант №13
а)
б)
|
Вариант №14
а)
б) y=x2+2x+2, y=2-4x-x2.
|
.
до
.
.
Контрольные вопросы:
Геометрический смысл определенного интеграла.
Какие прикладные задачи можно решать с помощью определенного интеграла?
Запишите формулу для вычисления пройденного пути.
Запишите формулу для нахождения работы силы.
Запишите формулу для нахождения объема тел вращения.
Какие еще знаете примеры применения на практике определенного интеграла?
Практическая работа №18
«Нахождение частных производных, полного дифференциала функций двух переменных»
Цель работы: развить навыки нахождения частных производных функций двух переменны, полного дифференциала, производной неявной функции.
Теоретическая часть
Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие единственное значение переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
z = f(x, y)
Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
MM0<r
также
верно и условие.
Записывают:
Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если
(1)
причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y).
Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Т.к. х и у независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другой нет. Рассмотрим случай, когда переменная у не меняется, а х меняется на .Величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Если существует предел
.
То он называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
Обозначение:
Аналогично определяется частная производная функции по у.
Геометрическим смыслом частной производной является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.
Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).
(2)
Теорема.
Если
функция f(x,
y)
и ее частные производные 
определены
и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности,
то верно соотношение:
.
(3)
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.
Производная неявной функции.
Если
функция задана неявно, то ее производную
можно найти ПО формуле:
(4)
Практическая часть
Пример 1. Дана функция z =2х3у4-5ln4x+4xу-y. Найдите:
а)
Частные производные
б) Частные производные в точке М(-2;3);
в) Полный дифференциал функции;
г) Полный дифференциал функции в точке М;
д)
Частные производные второго порядка
Решение.
а)
б)
в) Полный дифференциал функции . Подставим в формулу найденные частные производные
г) Подставим в полученное выражение значения частных производных в данной точке:
.
д)
Пример
2.
Найти полный дифференциал функции
.
Решение.
Пример
3. Найдите
производную неявной функции
Решение. 1 способ. Найдем полную производную равенства с учетом того, что у=у(х):
2
способ. Воспользуемся формулой:
В
нашем случае
Практические задания:
А) Дана функция z=f(x,y). Найдите:
Частные производные
Частные производные в т. М(2;-1);
Полный дифференциал dz;
Частные производные второго порядка функций.
Б) Найдите частные производные и полный дифференциал функций:
В) Найдите производную неявной функции:
Вариант 1
а)
б)
в)
|
Вариант 2
а)
б)
в)
|
Вариант 3
а)
б)
в)
|
Вариант 4
а)
б)
в)
|
Вариант 5
а)
б)
в)
|
Вариант 6
а)
б)
в)
|
Вариант 7
а)
б)
в)
|
Вариант 8
а)
б)
в)
|
Вариант 9
а)
б)
в)
|
Вариант 10
а)
б)
в)
|
Вариант 11
а)
б)
в)
|
Вариант 12
а)
б)
в)
|
Вариант 13
а)
б)
в)
|
Вариант 14
а)
б)
в)
|
Контрольные вопросы:
Что называется функцией двух переменных?
Что называется областью определения функции двух переменных?
Дайте определение предела функции двух переменных.
Какая функция называется непрерывной в точке?
Что называется частным производным функции от переменной х? у?
Как найти полный дифференциал функции?
Способы нахождения производной неявной функции.
Практическая работа №19
«Вычислить двойных интегралов в случае области 1 и 2 »
Цель работы: сформировать навыки нахождения двойных интегралов в прямоугольных координатах, применения двойных интегралов для решения геометрических задач.
Теоретическая часть
Пусть функция f(x,y) определена внутри некоторой области D и на ее границе. Разобьем область D на n частичных областей D1, D2, ..., Dn. Их площади обозначим через ∆S1,∆S2,…,∆Sn. В каждой частичной области возьмем по произвольной точке (P1(x1; y1) в области D1, P2 (x2; y2) в области D2 , и т.д.). Составим интегральную сумму:
Обозначим через d наибольший из диаметров области D. Устремим n к бесконечности так, чтобы d стремилось к нулю.
Рис.1
Конечный
предел последовательности Sn
(если он существует) при d
→ 0 , который не зависит ни от способа
разбиения области D
, ни от выбора точек P1,
P2,
..., Pn,
называется двойным
интегралом
функции f(x,y)
и обозначается 
Функция f(x,y) называется интегрируемой функцией на области D . Область D называется областью интегрирования.
Непрерывная на замкнутой области функция является интегрируемой на этой области.
Геометрический смысл двойного интеграла. Пусть интегрируемая функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z = f(x,y).
повторном интеграле. (см. рис. 1)
Свойства двойного интеграла
Свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.
Двойной интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:
Если в области D
,
то
Если область D представляется в виде объединения двух областей D1 и D2 ,без общих внутренних точек, то
Теорема о среднем значении.
Если
функция f(x,y)
непрерывна на области D,
то существует точка М0(х0,у0)
такая, что
