Необходимый признак сходимости числового ряда (1):

Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Отсюда вытекает, что если , то ряд расходится. Но выполнение необходимого признака сходимости не гарантирует сходимость данного ряда и следует исследовать ряд с помощью достаточных признаков сходимости.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Определение. Ряд , у которого все a₁>0, a₂>0,..., a_n>0,... называется знакоположительным числовым рядом.

Рассмотрим два знакоположительных числовых ряда:

(2)

(3)

Признак сравнения I. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если начиная с некоторого номера n:

1) a_n ≤ b_n - члены ряда (2) не больше соответствующих членов ряда (3), и ряд (3) сходится, то и ряд (2) также сходится.

2) a_n ≥ b_n - члены ряда (2) не меньше соответствующих членов ряда (3), и ряд (3) расходится, то и ряд (2) также расходится.

Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими известными рядами:

1) , a ≠ 0 (геометрическая прогрессия, сходящаяся при |q| < 1 и расходящаяся при |q| ≥ 1);

2) расходящийся гармонический ряд;

3) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при p > 1 и p ≤ 1).

Признак сравнения II. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если существует конечный предел , то оба ряда (2) и (3) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же , то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2).

2 Признак Даламбера

Пусть дан ряд (2) с положительными членами. Допустим, что существует и

.

Тогда: 1) если ρ<1, то ряд (1) сходится;

2) если ρ>1,то ряд (1) расходится.

При ρ=1 требуется дополнительное исследование.

3 Признак Коши

Замечание. Признак Даламбера целесообразно применять тогда, когда общий член ряда содержит факториал или содержит одновременно степенную и показательную функции относительно n.

Признак Коши (радикальный). Пусть дан числовой ряд (2). Если существует предел , то

при k < 1 ряд (2) сходится,

при k > 1 ряд (2) расходится,

при k = 1 вопрос о сходимости ряда (2) остается открытым.

Замечание. Признак Коши (радикальный) целесообразно применять в том случае, если общий член ряда представляет собой n-ю степень некоторого выражения.

Интегральный признак Коши (основан на сравнении рядов с несобственными интегралами). Пусть общий член ряда (2) a_n = f(n) > 0. Если функция f(x), принимающая в точках x = n, n = 1, 2, 3, ... значения f(n), монотонно убывает в некотором интервале A<x<∞, где A>1, то числовой ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

  

Практическая часть

Пример 1.  Исследовать на сходимость ряд .

Решение

.

Т.е. необходимый признак сходимости не выполнен.

Ответ: ряд расходится.

Пример 2.   Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как n>lnn для n≥2, тогда для , а - общий член расходящегося гармонического ряда, то в силу признака сравнения I данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера.

Решение. .

. Следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применяем признак Даламбера. По известному члену ряда a_n, заменяя в нем n на n + 1, находим следующий за ним член a_n+1. Здесь

_{, ,}

следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд _.

Решение. Общий член ряда представляет собой n-ю степень некоторого выражения, поэтому удобнее всего применение радикального признака Коши:

следовательно, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

^,

Практические задания

1 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:	2 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:
3 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:	4 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость: .
5вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:	6 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:
7 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:	8 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:
9 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:	10 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:
11 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость	12 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:
13 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:	14 вариант 1. Найдите первые четыре члена ряда 2. Исследовать ряды на сходимость:

Контрольные вопросы:

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется суммой числового ряда?

3. Дайте определение сходящегося ряда.

4. Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда.

5. Сформулируйте достаточные признаки знакоположительных рядов:

   1. Признаки сравнения;

   2. Признак Даламбера;

   3. Признак Коши;

   4. Интегральный признак Коши.

6. Что называется гармоническим рядом? Обобщенным гармоническим рядом?

Практическая работа №21

«Исследование сходимости знакочередующихся рядов»

Цель работы: Сформировать навыки исследования знакопеременных рядов на сходимость.

Теоретическая часть

Определение. Ряд , (1)

содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Определение. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд _, (2)

составленный из модулей членов данного ряда.

Естественно, что всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся, т. е. из сходимости ряда (2) всегда следует сходимость ряда (1).

Определение. Знакопеременный ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (2), составленный из модулей его членов, расходится.

Исследовать на сходимость знакопеременный ряд - значит не только ответить на вопрос, сходится он или расходится, но и как сходится: абсолютно или условно.

Среди знакопеременных рядов особо выделяют класс знакочередующихся рядов.

Определение. Знакочередующимся называется ряд, в котором два соседних члена имеют разные знаки. Его можно записать так:

или (3)

Для знакочередующихся рядов справедлив следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд (3). Если выполнены два условия:

1) - (члены, начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине);

2)

то ряд (3) сходится.

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

При исследовании знакопеременных рядов на абсолютную сходимость пользуются всеми известными признаками сходимости для рядов с положительными членами.

Практическая часть

Пример 1. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Решение. Т.к. 1)

2) , то данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится

Пример 2. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд .

Решение. Применяем признак Лейбница. Так как

1) - члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине,

2) - выполнен необходимый признак, данный ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из модулей его членов, . Применим признак сравнения. Сравним данный ряд с рядом . Так как - гармонический ряд, про который известно, что он расходится, то и ряд полученный умножением ряда на константу также является расходящимся. 4n-3<4n, . Следовательно из расходимости рядя следует и расходимость ряда .

Ответ: ряд сходится условно.

Пример 3. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд .

Решение. Исследуем данный знакочередующийся ряд сразу на абсолютную сходимость. С этой целью составим ряд из модулей членов данного ряда: . Применим к этому ряду признак Даламбера:

,

Т.к. 0<1, ряд сходится

Здесь использован 2-й замечательный предел .

Ряд из модулей сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Составим ряд из модулей данного ряда:

Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, ряд сходится. Т.о. ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Практические задания

Исследовать на сходимость знакочередующий ряд.

1. Выпишите первые пять членов ряда

2. Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующихся рядов.

3. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд

Вариант 1 а) б) а)	Вариант 2 а) б) а)
Вариант 3 Вариант 3 а) б) 3.	Вариант 4 а) б)
Вариант 5 а) б) 3.	Вариант 6 а) б)
Вариант 7 а) б)	Вариант 8 а) б)
Вариант 9 а) б) 3.	Вариант 10 а) б) 3.
Вариант 11 а) б)	Вариант 12 а) б)
Вариант 13 а) б)	Вариант 14 а) б)

Контрольные вопросы:

1. Какой ряд называется знакопеременным?

2. Какой ряд называется знакочередующимся?

3. Что называется абсолютно сходящимся рядом?

4. Что называется условно сходящимся рядом?

5. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

Практическая работа №22

«Нахождение радиуса и области сходимости ряда. Разложение функции в ряд Маклорена»

Цель. Сформировать навыки исследования степенных рядов на сходимость.

Теоретическая часть

Пусть u₁(x), u₂(x), u₃(x),…,u_n(x) – некоторая последовательность функций.

Выражение вида u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+… называется функциональным рядом.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1)

Где х—независимая переменная, --постоянные коэффициенты, а₀ – фиксированное число.

 Степенным рядом также называют ряд вида

(2)

Он является частным случаем ряда (1) (a=0).

  Теорема (Абеля). Если степенной ряд  сходится в точке х₀,, то он абсолютно сходится в точке х, для которой .

 Определение. Интервал (x₀-R, x₀+R), внутри которого ряд сходится, а вне его - расходится, называется интервалом сходимости, а число R - радиусом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из формул

или (3)

при условии, что пределы, в них входящие, существуют.

Замечание. Для ряда (2) интервалом сходимости является (-R;R).

Исследовать степенной ряд на сходимость - значит, найти интервал его сходимости и выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости.

В результате исследования рядов может получиться что:

1. R=0. Это означает, ряд сходится только при х=0.

2. R= . Это означает, ряд сходится на всей числовой прямой, т.е.

3. R—Число отличное от нуля. В данном случае областью сходимости может быть один из нижеперечисленных вариантов:

Разложение функции в степенной ряд

Важное практическое значение имеет разложение функции в степенной рад, т.е.представить ее в виде суммы степенных функции.

Если функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные до n-го порядка включительно, то в каждой точке этой окрестности она представима формулой Тейлора

(4)

Если полагать х₀=0, то получим ряд Маклорена

(5)

При разложении функций в степенные ряды применяют следующие основные табличные разложения Маклорена:

(6)

(7)

(8)

-1<x<1

(9)

(m - любое действительное число; ряд называется биномиальным);

(11)

(12)

Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения многих других функций. С помощью данных разложений можно произвести приближенные вычисления функции, определенных интегралов, дифференциальных уравнений и т. д.

Практическая часть

Пример 1. Найти область сходимости ряда

Решение. Найдем радиус сходимости по формуле (3)

Следовательно, ряд сходится только при х=0.

Ответ: ряд сходится при х=0.

 Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости:

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

Ответ: Ряд сходится на всей числовой оси.

  Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Найдем радиус сходимости по формуле (3)

Получаем, что этот ряд сходится на интервале .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = -1 получаем знакочередующий ряд  

По признаку Лейбница ряд сходится, т.к. и

При х=1 получаем гармонический ряд  , который, как известно, расходится. расходится (гармонический ряд).

Ответ: область сходимости .

Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости. Здесь следовательно,

Интервал сходимости характеризуется неравенством -2 < x < 2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала.

При x=2 степенной ряд принимает вид . Данный ряд расходится, т.к. не удовлетворяет необходимый признак сходимости

При x = -2 степенной ряд принимает вид . И этот ряд расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: .

Ответ: область сходимости .

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функции: а) f(x)=sin x; б) f(x)=sin2 x

Решение

а) Имеем: f(x)=sin x, f′(x)=cos x, f′′(x)=-sin x, f′′′(x)=-cos x, f⁽⁴⁾=sin x,…

Полагая х=0, получим f(0)=0, f′(0)=1, f′′(0)=0, f′′′(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0,…

Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получим:

б) Воспользуемся формулой (7). заменим х на 2х, получим:

Пример 6. Вычислить приближенно sin 10° с точностью до 0,0001.

Решение. Используем приближенную формулу (7). Поскольку радиан, то

Получили знакочередующийся числовой ряд. По следствию из признака Лейбница, остаток ряда меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов. Здесь взятые два члена ряда обеспечивают нужную точность, так как 0,000001 < 0,0001.

Итак, sin 10° 0,17453 - 0,00089  0,1736.

Ответ: sin 10°  0,1736±0,0001.

Пример 7. Вычислить приближенно с точностью до 0,00001.

Решение. Используем приближенную формулу (6) для функции e^x. Полагаем x = 1/4:

.

Если взять пять членов этого ряда (n = 4), то ошибка вычислений не будет превышать 0,00001.

Подсчитав сумму пяти выписанных выше членов ряда, получим

Ответ: _.

Практические задания

1. Найдите область сходимости ряда.

2. Разложите функцию в ряд Маклорена.

3. Вычислите приближенно.

Вариант 1 а) б) в) с точностью 0,001	Вариант 2 а) б) в) e2 с точностью 0,01
Вариант 3 а) б) в) cos300 с точностью 0,001	Вариант 4 а) б) в) arctg0,2 с точностью 0,001
Вариант 5 а) б) в) arcsin0,3 с точностью 0,001	Вариант 6 а) б) в) e3 с точностью 0,01
Вариант 7 а) б) в) cos500 с точностью 0,001	Вариант 8 а) б) в) 1,25 с точностью 0,001
Вариант 9 а) б) в) arcsin0,6 с точностью 0,001	Вариант 10 а) б) в) 0,87 с точностью 0,001
Вариант 11 а) б) в) cos700 с точностью 0,001	Вариант 12 а) б) в) ln1,2 с точностью 0,001
Вариант 13 а) б) в) arctg1,3 с точностью 0,001	Вариант 14 а) б) в) sin800 с точностью 0,001

Контрольные вопросы:

1. Что называется функциональным рядом?

2. Что называется степенным рядом?

3. Сформулируйте теореме Абеля.

4. Что называется областью сходимости, радиусом сходимости.

5. Запишите ряд Тейлора.

6. Запишите ряд Маклорена.

7. Применение разложения функции в ряд при решении практических задач.

Практическая работа №23

« Ряды Фурье»

 Цель: сформировать навыки разложения функции в ряд Фурье.

Теоретическая часть

Для изучения некоторых функций иногда удобно представить ее при помощи более простых функций, свойства которых являются известными. Во многих технических задачах возникает необходимость разложения функции через периодические функции, например, тригонометрические.

Рассмотрим гармонические колебания, описываемые синусоидальной функцией f(x)=Asin(ωx+φ). Здесь А—амплитуда колебания, ω—частота колебания, φ—начальная фаза колебания.

f(x)=Asin(ωx+φ)=Asin ωxcosφ+Acos ωxsinφ.

Положим Asinφ=a, Acosφ=b, тогда

f(x)= asin ωx+bcos ωx.

Т. е. сложную гармонику можно представить в виде суммы более простых гармоник. Периодическая функция f(x) с периодом Т=2π можно разложить следующим образом:

  Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче, (20.1)

  Действительные числа a_i, b_i называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2.

Следует отметить, что периодическую функцию с периодом 2 достаточно рассмотреть только на отрезке [-; ] или [0; 2].

Пусть функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

(20.2)

(20.3)

(20.4)

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

 

  Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Если функция f(x) задана на промежутке [-l,l], где l – произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

,

где

В случае, когда f(x) – четная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член (a₀) и косинусы, т. е.

где

В частности, если функция f(x) четная на промежутке [-π;π], то

(20.5)

(20.6)

(20.7)

В случае, когда f(x) – нечетная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т. е.

.

В частности, если функция f(x) нечетная на промежутке [-π;π], то

(20.8) (20.9)

Практическая часть

Пример1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Решение. график функции изображен на рис.

По формулам 20.2-20.4 найдем коэффициенты Фурье.

Интеграл вычислим интегрированием по частям.

Подставляя значения n=1,2,3…, получим:

…

.

Интегрируем по частям:

.

Откуда , , …

Разложим функцию в ряд Фурье (20.1)

Или

Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Решение. Данная функция нечетная на промежутке [-π;π] (рис. ) и потому

раскладывается только по синусам. Коэффициенты находим по формуле (20.9).

Откуда , , , , ,…

Т.о.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0;π] функцию

f(x)=-x

Решение. Продолжим данную функцию на отрезке [-π;0] четным образом (рис. ). В результате получится четная функция, которая раскладывается по косинусам. По формулам 20.6 и 20.7 имеем:

,

Итак, по формуле 20.5 имеем:

Практическая часть

1. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию на интервале [-π;π].

2. Для вариантов 1,3,5,7,9,11,13: Разложить в ряд Фурье по косинусам. Для вариантов 2,4,6,8,10,12,14: Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0;π] функцию

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3 на промежутке	Вариант 4
Вариант 5 на промежутке	Вариант 6 на промежутке [0;π]
Вариант 7 на промежутке [0;π]	Вариант 8 на промежутке [-π;π]
Вариант 9 на промежутке [0;π].	Вариант 10 на промежутке [-π;π].
Вариант 11 на промежутке [0;π].	Вариант 12 на промежутке [-π;π].
Вариант 13 на промежутке [0;π].	Вариант 14 на промежутке [0;π].