I. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x). (1)
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.
И т.д. до получения у.
II. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение y" + p · y' + q · y = 0 , (2)
где p и q - постоянные, называется однородным линейным уравнением второго порядка.
Вид общего решения y0 однородного линейного уравнения второго порядка зависит от корней k1, k2 характеристического уравнения:
(3)
Если k1, k2 - действительные числа, причем k1 ≠ k2 , то общее решение имеет вид:
Если k1, k2 - действительные числа, причем k1 = k2 , то общее решение примет вид:
Если k1, k2 - комплексные числа,
,
то общее решение имеет вид:
III. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
y" + py' + qy = f(x) (4)
Общим решением уравнения (4) является сумма общего решения yо однородного уравнения и частного решения y* данного уравнения, т.е. y = yо+ y* .
Частное решение у* неоднородного уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим два случая.
I случай. Если правая часть f(x) уравнения представляет собой произведение eα · x Pn(x) , где α - число, Pn(x) - многочлен степени n .
Если число α не является корнем характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда
Если число α - однократный корень характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда
Если число α - двукратный корень характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда
II случай. Пусть f(x) имеет вид:
где P(x), R(x) - многочлены.
Пусть n - наибольшая степень этих многочленов. Частное решение y* находится подбором неопределенных коэффициентов многочленов Un(x), Vn (x) степени n : 1) если числа a ± ib не являются корнями характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда
2) если числа a ± ib - корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 , тогда
Выбрав вид частного решения y* , соответствующий правой части f(x) дифференциального уравнения, находим y*', y*"
Подставив
найденные для y*
, y*'
, y*"
выражения в исходное линейное уравнение
второго порядка, определяем неизвестные
коэффициенты многочлена 
,
или многочленов U(x)
и V(x)
.
Практическая часть
Пример
1. Решить уравнение
.
Решение. Интегрируя, находим
Итак, общее решение
Ответ:
Пример
2.
Решить уравнение
с
начальными условиями x0
= 0; y0
= 1;
Решение. Сначала находим общее решение, методом понижения порядка ДУ
Подставим начальные условия:
Получаем
частное решение (решение задачи Коши):
Ответ:
Пример 3. Решить уравнения
a) y′′-5y′+6y=0; б) y′′+4y′+4y=0; в) y′′-6y′+13y=0.
Решение. Уравнения являются однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.
а) y′′-5y′+6y=0,
характеристическое уравнение имеет вид:
k2-5k+6=0, k1=2, k2=3.
Находим общее решение
y=C1e2x+C2e3x.
б) y′′+4y′+4y=0, в) y′′-6y′+13y=0,
k2+4k+4=0, k2-6k+13=0,
k1,2=-2 k1=3+2i, k2=3-2i,
y=e-2x(C1+C2x) y=e3x(C1cos2x+C2sin2x).
Пример
4.
Решить уравнение:
