3.5 Математическая модель движения частиц в силовых полях

Пусть частица массы m движется вдоль оси Ох в одномерном силовом поле с потенциалом U(x). Динамика движения частицы описывается стационарным одномерным уравнением Шредингера:

, (1)

где координатная часть волновой функции, Е – энергия частицы. Из физического смысла волновой функции следуют ограничения, накладываемые на решения уравнения (1), которые называются стандартными условиями, а именно, волновая функция должна быть а) однозначной, б) конечной (ограниченной), в) непрерывной, г) должна иметь непрерывные производные по координате х (если потенциальная энергия не испытывает бесконечных скачков или разрывов).

Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Пусть частица m движется в силовом поле вида:

(2)

Наличие непроницаемых стенок при х=0 и х=а не позволяет частице проникнуть в область, где . Следовательно, вне ямы , и из условия непрерывности волновой функции следуют граничные условия:

. (3)

Внутри потенциальной ямы и уравнение Шредингера (1) принимает вид:

, (4)

где введено обозначение:

. (5)

Решение уравнения (4) имеет вид стоячих волн

. (6)

Параметры и  найдем из граничных условий (3), которые дают значения:

. (7)

Амплитуду А найдем из условия нормировки

, (8)

из которого найдем

. (9)

Таким образом, окончательно нормированная волновая функция частицы в яме имеет вид:

. (10)

Из условий (5) и (7) найдем уровни энергии частицы:

. (11)

Случай следует исключить как не имеющий физического смысла (почему?). Так как вероятности обнаружения частицы в точке х, а также уровни энергии не зависят от знака , то отрицательные значения можно не принимать во внимание, следовательно, образует натуральный ряд значений

Оценка уровня Ферми в металлах.

В первом приближении движение электронов проводимости в металлах можно представить как электронный газ, заключенный в трехмерной потенциальной яме (модель Зоммерфельда). Уровни энергии в такой яме описываются соотношением (11), где в трехмерном случае . В каждом таком состоянии, описываемом тройкой квантовых чисел , может находиться два электрона с противоположными спинами (принцип запрета Паули). Так как в макроскопическом куске металла имеется очень большое число электронов моль^-1 (число Авогадро), то значения квантовых чисел так же велики и, следовательно, их можно считать непрерывными, но положительными. Рассмотрим пространство с координатами . Каждой точке такого пространства в первом октанте соответствует энергия (11)

. (12)

Здесь расстояние от начала координат до рассматриваемой точки пространства.

Вычислим число электронов , энергия которых заключена в интервале между значениями Е и (или число точек первого октанта с целочисленными координатами , заключенными между сферами радиусов и , заселенными парой электронов).

(13)

или с учетом (12):

.

Тогда искомое распределение электронов по энергиям принимает вид:

. (14)

Если в металле имеется электронов проводимости в основном состоянии, а максимальная энергия электронов (уровень Ферми), то

.

Откуда для уровня Ферми получаем выражение вида:

. (15)

Если металл построен из атомов массой М, имеет плотность  и на один атом приходится один электрон проводимости, тогда или и соотношение (15) примет окончательно вид:

. (16)

Распределение частиц по импульсам в бесконечно глубокой яме

Свободное движение микрочастицы с импульсом р (без временной зависимости) описывается плоской волной де Бройля

. (17)

Представим волновую функцию частицы в виде интеграла по функциям (17)

. (18)

С математической точки зрения соотношение (18) представляет собой интеграл Фурье, в котором обратное Фурье-преобразование имеет вид:

. (19_

Тогда в соответствие с принципом суперпозиции Фурье-образ определяет плотность вероятности измерения данного значения импульса р, а именно:

. (20)

Для частицы в бесконечно глубокой яме нормированная волновая функция имеет вид (10):

. (21)

Тогда

. (22)

Интегрируя (22) дважды по частям, легко получить

. (23)

Отсюда находим распределение частиц по импульсам

четное,

нечетное. (24)