4.5. Математическое моделирование

4.5.1. Движение микрочастиц в бесконечно глубокой потенциальной яме

Цель работы: Ознакомление с методикой решения задач, описывающих динамику движения микрочастиц в стационарных силовых полях на примере бесконечно глубокой потенциальной ямы. Исследование зависимости основных характеристик микрочастиц (распределение частиц по координатам и импульсам, уровни энергии, энергия Ферми) от параметров поля с помощью PC.

ЗАДАНИЯ

1. Получить значение нормировочной постоянной A.

2. Объяснить исключение квантового числа n=0.

3. Построить графики волновой функции и плотности вероятности распределения частиц по координатам при a=1 для первых четырех нижних квантовых состояний (n=1,2,3,4).

4. Вычислить значения энергии E_n первых четырех уровней, а также расстояния между соседними квантовыми уровнями (в эВ) для случаев:

   1. ядерных масштабов (а=10^-14 м; m=m_p=1,6·10^-27 кг);

   2. атомных масштабов (а=10^-10 м; m=m_е=9,1·10^-31 кг);

   3. макроскопических масштабов (а=1 cм; m=1 г).

5. Для куска серебра, имеющего форму куба, вычислить:

   1. энергию Ферми F ;

   2. среднюю энергию электронов в серебре <E>

3. давление p электронного газа в серебре (в Па и атм). Принять массу атома серебра M = 1,8·10^-25 кг, плотность серебра ρ = 10,5·10³ кг/м³, 1 атм = 1,013·10⁵ Па.

Замечание. При расчетах давления электронного газа учесть, что , где внутренняя энергия газа , . Следовательно, .

Откуда окончательно найдем (получить данное соотношение):

6. Вывести соотношения (23) и (24).

7. Полагая в (24) параметры a=1 и ћ = 1 построить графики распределения частиц по импульсам w_n(p) в бесконечно глубокой потенциальной яме для основного и возбужденного состояний (n=1,2).

8. Выполнить основное задание данного исследования, с учетом специфики применяемого теоретического метода

Творческие задания.

1. Найти среднее значение координаты , квадрата координаты и флуктуации координаты частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a=1 для основного, первого возбужденного уровня и .

Указание:

.

2. Найти среднее значение импульса , квадрата импульса и флуктуации импульса частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a=1 для основного, первого возбужденного уровня и .

Указания:

.

3. Получить соотношение неопределенности Гейзенберга для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме:

(в общем виде )

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Сформулировать гипотезу де Бройля математически.

Указать физический смысл волновой функции .

Записать общее и стационарное уравнения Шредингера.

Сформулировать принцип суперпозиции в квантовой механике.

Сформулировать принцип запрета Паули.

Дать определение уровня Ферми для металлов.

Указать способ вычисления функции распределения частиц по импульсам.

Сформулировать соотношение неопределенности Гейзенберга и указать его физический смысл.

4.5.2. Масса и энергия связи атомных ядер

Цель работы: ознакомление с основными массовыми и энергетическими

характеристиками атомных ядер. Изучение зависимости энергии связи ядер как функция массового числа А и заряда Z ( формула Бете – Вайцзеккера). Оценка некоторых параметров стабильных, ядер а также - и активных ядер.

ЗАДАНИЯ

1. Изучить теорию. Дать ответы на контрольные вопросы.

2. Решить следующие задачи:

2.1. Дефект массы атома равен δ (Z,А)= δ (4,9) = 11,3484 МэВ. Определить энергию связи ядра относительно распада его на две -частицы и нейтрон. Как можно использовать полученный результат для практических целей?

2.2 Используя дефекты масс δ (1,2) = 13,13627 МэВ, δ (1,3) = 14,95038 МэВ, δ (2,3) = 14,93173 МэВ, вычислить энергию Q, выделяющуюся в следующих термоядерных реакциях:

a) + → + ; б) + → + ;

в) + → + ; г) + → + .

Пренебрегая кинетической энергией частиц до реакции, определить, какую энергию уносит каждая частица после реакции. Какая из указанных реакций является наиболее оптимальной с практической точки зрения?

2.3. Ядро , имеющее удельную энергию связи 7,6 МэВ/нуклон, делится на два осколка одинаковой массы, расположенные в середине периодической системы элементов, имеющие удельную энергию связи 8,5 МэВ/нуклон. Определить освободившуюся при этом кинетическую энергию.

3. Учитывая, что в легких ядрах (Z 20) число протонов и нейтронов совпадает (А=2Z), а средние и тяжелые ядра перегружены нейтронами, так что зависимость А(Z) при Z > 20 можно интерполировать линейной функцией:

A=KZ+C.

Найти параметры К и С, используя в качестве опорных ядра кальция ( ) и ртути . На основании полученных результатов, и используя данные периодической таблицы Менделеева (Приложение № 2), составить таблицу с указанием параметров Z, A_Э , N_Э , А_Т , ∆A и N_Э/Z для ядер с 10 Z 90 и шагом ∆Z=10, где A_Э, N_Э - экспериментальные значения А и N, ∆A = А_Т  А_Э .

Построить график зависимости от Z, на котором отметить такие соответствующие экспериментальные значения (диаграмма Сегре).

4. Используя экспериментальные данные по дефектам масс атомов (приложение № 1), вычислить полную и удельную энергию связи дважды магических ядер: , , , , .

5. Рассмотреть ряд самых легких ядер: , , , , каждое из которых получается из предыдущего присоединением одного нуклона. Используя данные по дефектам масс соответствующих атомов, приведенные в таблице, оценить энергию присоединения нуклона к предыдущему ядру. Какие выводы можно сделать из сравнения полученных данных?

Таблица 3. Дефекты масс легчайших атомов.

Атом
δ(Z,A)	13,136	14,932	2,425	11,680

6. Ядра, перегруженные протонами или нейтронами, являются и испытывают или .

( )

( ).

Используя формулу Бете-Вайцзеккера, определить заряд Z₀ изобарных ядер (А=const), которые являются стабильными относительно , т.е. обладают максимальной энергией связи для данного А. Для этого необходимо решить уравнение = 0. Определить характер атомных ядер серебра , олова и цезия .

7. Выполнить основное задание данного исследования, с учетом специфики применяемого теоретического метода

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

В каких единицах измеряется масса атомных ядер в ядерной физике?

Дать определения понятия изотопов, изобаров, изотонов и зеркальных ядер.

Дать определение энергии связи (удельной энергии связи) ядра. Какую энергию необходимо затратить, чтобы выбить -частицу из ядра ?

Что такое дефект массы ядра? Записать формулу для энергии связи ядра через дефекты масс.

Записать формулу Бете-Вайцзеккера и пояснить физический смысл каждого слагаемого.

Почему выделяется энергия при слиянии легких ядер и делении тяжелых?

Какие эффекты говорят в пользу жидко капельной модели ядра?

Получить связь между массой и энергией связи ядра.