7. 3. Связь полярных координат на поверхности эллипсоида
и плоскости
Уравнения ( 7. 1 ) – ( 7. 4 ) при соответствующем выборе вида функций осуществляют связь между параметрическими координатами на поверхности эллипсоида и плоскости. Для геодезических проекций необходимо также иметь формулы, связывающие сфероидические и плоские полярные координаты.
Рис. 7. 3 |
На рис. 7.3 показано изображение геодезической линии эллипсоида на плоскости проекции, длиной S и ее хорда d. Показаны также геодезический азимут А12 , дирекционный угол α12, поправка за кривизну изображения геодезической линии эллипсоида на плоскости проекции. Q1k – касательная к кривой S в точке Q1. Несложно заметить уравнение связи дирекционного угла и азимута
|
( 7. 12 )Формулы для вычисления сближения меридианов γ1 в точке Q1 получают из уравнений ( 7. 10 ). Поправка в направление за кривизну изображения геодезической линии эллипсоида на плоскости δ12 получается по формулам дифференциальной геометрии и для малых длин может быть записана в виде
( 7. 13 )
где Г – кривизна кривой s , определяемая из уравнения Схольса
( 7. 14 )
Связь длины кривой S на плоскости с длиной геодезической линии эллипсоида s выражается интегралом
( 7. 15 )
Связь длины хорды d с длиной кривой S определяется уравнением дифференциальной геометрии
( 7. 16 )
Таким образом получены основные уравнения конформных геодезических проекций. Конкретный вид проекции, вообще говоря, определяется функциями ( 7. 3 ) – ( 7. 4 ), этот процесс может быть весьма трудоемким, но для конформных геодезических проекций можно определить более простой путь их выбора.
7. 4. Характеристические уравнения геодезических проекций
Линейный элемент поверхности эллипсоида в функции геодезических координат имеет ранее полученное выражение ( 4. 6 ), которое преобразуется к изометрической форме следующим образом
( 7. 17 )
Здесь q – изометрическая широта, связанная с геодезической дифференциальным уравнением
( 7. 18 )
Интегрирование данного уравнения производим следующим образом
(
7. 19 )
Здесь приняли постоянную интегрирования, равной нулю, так как счет широт ведется от экватора.
Система плоских прямоугольных координат изометрическая. Линейный элемент на плоскости выражается уравнением
( 7. 20 )
Для конформных геодезических проекций запишем уравнения связи изометрических координат в прямом и обратном изображениях
( 7. 21 )
Учитывая, отмеченное ранее, что в геодезических проекциях решается задача изображения сравнительно малых областей эллипсоида, для каждой из которых можно выбрать некоторые средние значения координат q0 и L0 на эллипсоиде, которым на плоскости будут соответствовать значения x0 , y0 , уравнения ( 7. 21 ) можно записать в виде
. ( 7. 22 )
Здесь L0 – долгота осевого меридиана и, очевидно, будут иметь место уравнения
. ( 7. 23 )
Поскольку функции ( 7. 22 ) аналитические, а приращения координат q и l, x и y малые величины, их можно разложить в ряд по формуле Тейлора по степеням малых величин
(
7. 24 )
Но в геодезических проекциях выполняется условие, что осевой меридиан изображается прямой линией на плоскости, когда выполняются условия
l
= 0; y
= 0.
( 7. 25 )
и для изображения осевого меридиана на плоскости будут иметь место уравнения
, ( 7. 26 )
где коэффициенты
Cj
– производные вида
,
а
.
Обратимся к первому уравнению из ( 7. 26 ). Оно выражает длину изображения осевого меридиана на плоскости от точки с координатами x0, y0 ( начальной точки ) до текущей точки изображаемой области. При этом заметим, что эта длина выражается в виде разложения по степеням разности изометрической широты текущей и начальной точек, а также коэффициентов разложения, являющимися функциями широты начальной точки. Поэтому формулы ( 4. 24 ) и ( 7. 26 ) называют формулами, основанными на рядах с начальными аргументами.
Уравнения ( 7. 26 ) для различных проекций указанного класса будут отличаться только коэффициентами разложений, которые будут зависеть от вида функций ( 7. 21 ), описывающих проекции, поэтому назовем эти уравнения характеристическими уравнениями геодезических проекций.