7. 5. Общее алгоритмическое описание геодезических проекций
Здесь мы получим общие формулы для вычислений основных характеристик геодезических проекций.
Произведя возведение в степени выражений, стоящих в правых частях ( 7. 24 ), а затем воспользовавшись условием равенства комплексных выражений, когда равны их действительные и мнимые части, получаем следующие выражения для связи координат
, ( 7. 27 )
где Pj = P1P(j-1) – Q1Q(j-1); Qj = P1Q(j-1) + Q1P(j-1) при условии P0 = 1; Q0 = 0. Это гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. При этом имеем P1 = q; Q1 = l.
Вычислим производные, входящие в уравнения Коши – Римана ( 7. 10 ):
( 7. 28 )
Теперь выражения для частного масштаба длин и сближения меридианов принимают вид:
( 7. 29 )
Приведенные формулы работают в прямой задаче, когда по сфероидическим элементам требуется вычислить их образы на плоскости ( задача отображения поверхности эллипсоида на плоскости ). Если требуется решить обратную задачу, когда по элементам на плоскости проекции требуется вычислить соответствующие сфероидические элементы, берем за основу вторые уравнения из ( 7. 21 ) – ( 7. 26 ). В результате аналогично получим:
Для связи координат в обратном переходе получаем уравнения
; ( 7. 30 )
где P/ j = P/ 1P/ (j-1) – Q/ 1Q/ (j-1); Q/ j = P/ 1Q/ (j-1) + Q/ 1P/ (j-1) при условии P/ 0 = 1; Q/ 0 = 0. Это также гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Здесь следует иметь в виду также P/1 = x; Q/1 = y.
Для частного масштаба длин и сближения меридианов имеем также
( 7. 31 )
Здесь производные, входящие в уравнения Коши – Римана получают выражения
( 7. 32 )
Как видно из полученных выражений, они общие для любой из определенного нами класса геодезических проекций. Вид проекции определяется только коэффициентами характеристических уравнений ( 7. 26 ).
Аналогичным образом можно получить общие алгоритмические выражения для уравнений связи полярных и параметрических координат.
7. 6. Характеристические уравнения некоторых геодезических
проекций
В теории отображения поверхностей указывается на то, что все многообразие конформных отображений следует из аналитической функции комплексных переменных, связывающей изометрические координаты на обеих поверхностях (7. 3, 7. 4, 7. 21). Под изометрическими координатами на любой поверхности понимают такие, когда равным приращениям координат соответствуют равные линейные приращения вдоль координатных линий. Заметим, что в математике такая система координат называется изотермической, а в картографии и геодезии принято название изометрическая. Таким образом, необходимо установить изометрические координаты степени (q )j, которые представляют собой малые убывающие величины при малых q. Для Республики Беларусь, например, В0 540 и cosB0 3. 8 106 м. Если размеры изображаемой в одной зоне области ограничить разностью широт и долгот
(q)max (L)max 60 0.1,
а вычисления координат производить с точностью до 0. 001 м, что соответствует стандартам точности современных измерительных технологий, то в разложениях ( 7. 33 ) достаточно ограничиться восьмыми степенями разложений. При этом замечаем, что остаточный член в форме Лагранжа будет
(9) ( x, y ) ( 3.8 106 ) ( 0.1 )9/9! 0.001м.