Параметры земного эллипсоида и связь между ними
Поверхность земного эллипсоида образуется вращением эллипса вокруг его малой оси и имеет те же параметры, что и образующий ее эллипс. Эллипсом называют геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых его фокусами, постоянна и равна большой оси эллипса.
Уравнение эллипса в системе плоских прямоугольных координат имеет вид
y 
|
где a – большая и b – малая полуоси, являются линейными параметрами эллипса и определяют его форму и размеры. Для решения задач сфероидической геодезии применяют также относительные параметры эллипсоида вращения, которые связаны с большой и малой полуосями и характеризуют его форму: |
(
2. 1 )Рис. 2. 1
полярное
сжатие
;
( 2. 2 )
первый
эксцентриситет
;
( 2. 3 )
второй
эксцентриситет
.
( 2. 4 )
Для однозначного определения поверхности эллипсоида вращения необходимо знать два параметра, один из которых обязательно должен быть линейным. Используя выражения ( 2. 3 ) – ( 2. 4 ), несложно получить формулы связи различных параметров:
)
= a
=
;
;
;
;
.
Для эллипсоида Красовского, как известно, большая полуось а = 6 378 245 м и полярное сжатие = 1 : 298. 3, по которым можно вычислить следующие значения параметров:
b = 6 356 863.0188 м; = 0. 003 352 3299;
e2 = 0. 006 693 4216; e/2 = 0. 006 738 5254.
Для приближенных расчетов полезно запомнить округленные значения параметров земного эллипсоида:
а 6 400 км, а – b 21км, 1 : 300 ( 310-3),
e2 e/2 2 1 : 150 ( 710-3).
Системы координат высшей геодезии и связь между ними
Уравнение поверхности эллипсоида вращения в системе пространственных прямоугольных координат имеет вид
(
3. 1 )
x y 
Рис. 3. 1 |
Система пространственных прямоугольных координат установлена следующим образом. Ее начало совпадает с центром эллипсоида O, ось Оz совпадает с осью его вращения OP , ось Оx лежит на пересечении плоскостей экватора и гринвического меридиана PG, ось Оy дополняет систему координат до правой. На рис. 3. 1, кроме того, имеем: B, L – геодезические широта и долгота; Qn – нормаль к поверхности эллипсоида в точке Q.
|
Если в ( 3. 1 ) положить x = 0 или y = 0, получим уравнения меридианных эллипсов
;
.
Если в уравнении ( 3. 1 ) положить z = 0, получим уравнение геодезического экватора, который представляет собой окружность радиуса a
Если поверхность эллипсоида пересечь плоскостью z = const, получим окружности радиуса r , которые называются геодезическими параллелями. Отсюда следует, что экватор – параллель наибольшего радиуса ( r = a ).
На рисунке 3. 2 имеем системы координат, определяющие положение точки Q на меридианном эллипсе: плоские прямоугольные x, y ; геодезическую широту B; геоцентрическую широту Ф – угол, образованный геоцентрическим радиус-вектором OQ с плоскостью экватора; приведенную широту u – угол, образованный отрезком прямой Q1Q2O с плоскостью экватора, где Q1 и Q2 – проекции точки Q на окружности радиусов a и b, описанные вокруг точки О, как центра.
Рис. 3. 2