10. Задачи анализа и прогнозирования

Одна из серьезнейших задач, стоящих перед любым управляющим и экономистом — на основе анализа деятельности предприятия за прошлый период осуществить планирование его деятельности в следующем периоде. Рассмотрим две задачи такого рода.

10.1. Балансовая модель

Рассмотрим задачу планирования производства на примере балансовой модели.

Пример 1

Экономическая система состоит их трех отраслей. Объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период, текущее производственное потребление в отраслях, а также прогнозируемый конечный спрос продукции каждой из трех отраслей приведены в табл. 10.1. Определить конечную продукцию каждой из отраслей за предыдущий период и план выпуска продукции в следующем периоде, считая, что технология производства не изменилась.

Таблица 10.1

Отрасли	Объемы производства отраслей	Производственное потребление отраслей за предыдущий период			Прогнозируе­мый конечный спрос
		1	2	3
1 2 3	600 1000 800	250  150 0	100 500 300	160 0 400	2000 2000 3000

10.1.1. Математическая постановка задачи

Для решения поставленной задачи можно использовать балансовую модель Леонтьева. Она представляет собой систему уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этой продукции. В рассматриваемой задаче экономическая система состоит из трех отраслей.

Пусть Xi- величина, равная суммарному выпуску продукции отрасли i; Хij - количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела Xj единиц своей продукции;

Yi - количество продукции отрасли i, оставшейся для внешнего потребления (конечная продукция).

Тогда взаимосвязь отраслей в процессе производства и потребления отдельного продукта Xi (i =1, 2, 3) может быть описана в виде следующих уравнений:

^(10.1)

Используем понятие коэффициентов прямых затрат (технологических коэффициентов) aij :

- количество продукции отрасли i, необходимое для того, чтобы отрасль j произвела одну единицу своей продукции.

Тогда и система уравнений (10.1) будет иметь следующий вид:

(10.2)

Или в матричной форме

X=AX+Y, (10.3)

- матрица прямых затрат;

X - вектор-столбец выпуска продукции в предыдущем периоде

Y - вектор-столбец конечного спроса в предыдущем периоде

Решим уравнение (10.3) относительно X:

X-AX=Y,

отсюда

Х(Е-А)= Y, (10.4)

где Е - единичная матрица. Из уравнения (10.4) получаем

Х=(Е-А)^-1 Y. (10.5)

10.1.2. Решение задачи

Определение вектора конечной продукции за предыдущий период

По условию задачи известны объемы производства каждой из отраслей за предыдущий период (суммарный выпуск продукции отрасли i): X₁=600, , X₂= 1000 X₃= 800 и значения Хij (i,j=1, 2, 3):

Отсюда, используя (10.1), можно определить значения У, , г-1, 2, 3 конечной продукции каждой из отраслей за предыдущий период.

Y₁=600-250-100-160=90;

Y₂= 1000-150-500-0=3 50;

Y₃=800-0-300-400=100.

Таким образом, вектор конечной продукции за предыдущий период найден:

Проверка продуктивности матрицы

Все элементы матрицы А неотрицательные, А>=0.

Для того чтобы система уравнений (10.5) имела единственное неотрицательное решение при любом неотрицательном векторе Y, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Экономический смысл продуктивности состоит в том, что существует такой план выпуска продукции, при котором каждая отрасль сможет произвести некоторое количество конечной продукции. Известно, что для продуктивности матрицы А>0 необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А) были положительными числами, строго меньше единицы. Кроме того, если сумма элементов каждого из столбцов неотрицательной квадратной матрицы А положительна и строго меньше единицы, то все главные миноры матрицы (Е-А) положитены и строго меньше единицы.

Суммы элементов каждого столбца матрицы А соответственно равны:

0,417 + 0,25 + 0 = 0,667;

0,1 + 0,5 + 0,3 = 0,9;

0,2 + 0 + 0,5 = 0,7.

Следовательно, в силу вышесказанного, матрица А продуктивна, выражение (10.5) имеет смысл и вектор У неотрицателен. Следовательно, для нахождения плана выпуска продукции Х можно воспользоваться формулой (10.5).

Вычисление матрицы Е-А

Вычислим матрицу( Е-А)

Вычисление обратной матрицы (Е-А)^-1

Известно, что матрица В^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице В, если произведение В*В^-1=Е (Е - единичная матрица).

Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

(10.6)

Здесь [В _ij] - матрица, полученная из элементов В _ij a В _ij - алгебраические дополнения элементов ij матрицы.

В _ij =(-1) ^i+j М _{I j} (10.7)

где М _I , - минор элемента В _ij (минор - это такой определитель, который получается из матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент).

Вычислим значения алгебраических дополнений элементов матрицы (Е-А). Обозначим для простоты описания вычислений Е-А-В

Таблица 10 3
	А	В	С	D
1	БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
2	Объём производства	Потребление отраслей
3	600	250	100	160
4	1000	150	500	0
5	800	0	300	400
6 7 8	Вычисление технологических коэффициентов	0,417	0,1	0,2
		0,25	0,5	0
		0	0,3	0,5
9	Проверка продуктивности матрицы А
10		0,667	0,900	0,700
11	ЛОЖЬ		Матрица продуктивна
12 13 14	Единичная матрица	1	0	0
		0	1	0
		0	0	1
15 16 17	Вычисление Е-А	0,583	-0,1	-0,2
		-0,25	0,5	0
		0	-0,3	0;5
18 19 20	Вычисление обратной матрицы	2,113	0,930	0,845
		1,056	2,465	0,423
		0,634	1,479	2,254
21 22 23	Спрос на будущий период	2000	План выпуска продукции	8619,72
		2000		8309,86
		3000		10985,92