5.2. Элементарный электрический вибратор

Элементарным электрическим вибратором (ЭЭВ) называют короткий по сравнению с длиной волны провод, обтекаемый эле­ктрическим током, амплитуда и фаза которого не изменяются вдоль провода. Этот вибратор является по существу идеализи­рованной, удобной для анализа излучающей системой, так как практически создание вибратора с неизменными по всей длине амплитудой и фазой тока невозможно. Однако вибратор Герца (рис. 5.3) оказывается весьма близким по своим свойствам к ЭЭВ.

Благодаря имеющимся на его концах металлическим шарам, ко­торые обладают значительной емкостью, амплитуда тока слабо изменяется вдоль вибратора. Неизменность фазы обеспечивается малыми по сравнению с длиной волны размерами вибратора.

Изучение поля ЭЭВ крайне важно для понимания процесса излучения электромагнитных волн антеннами. Любое проводящее тело, обтекаемое токами, можно считать как бы состоящим из множества элементарных электрических вибраторов, а при опре­делении поля, создаваемого этими токами, можно воспользо­ваться принципом суперпозиции, т.е. рассматривать его как сумму полей элементарных вибраторов.

Перейдем к анализу поля ЭЭВ, расположенного в безгра­ничной однородной изотропной среде, характеризуемой парамет­рами ε, μ. Ток в вибраторе будем считать известным, т.е. сто­ронним током, изменяющимся по закону /^CT = /_m^CTcos(ωt+ψ₀), где /_т^ст- его амплитуда, а ψ₀- начальная фаза (фаза в момент времени t = 0). Так как поле, создаваемое вибратором, в рас­сматриваемом случае является монохроматическим, удобно вос­пользоваться методом комплексных амплитуд. Вместо тока /^ст

введем комплексную величину комплексная амплитуда стороннего тока. Ток /^ст связан с /^cт_mобычным соотношением .

Таким образом, задача сводится к нахождению поля по за­данному распределению тока. Сначала найдем векторный потен­циал А. Введем сферическую систему координат r,θ,φ, ходится в его центре (рис. 5.4).

Комплексная амплитуда векторного потенциала в случае мо­нохроматического поля при произвольном распределении токов в объеме V определяется формулой (2.58). Разобьем интегрирова­ние по объему, занимаемому ЭЭВ, на интегрирование по площади

его поперечного сечения ∆S и по длине вибратора l. Для упроще­ния преобразований будем считать поперечный размер вибратора (диаметр) малым по сравнению с его длиной l. Учитывая, что представим формулу (2.58) в виде

где - значение координаты точки ин­тегрирования (рис.5.5). При вычислении интеграла (5.1) ограни­чимся случаем, когда расстояние от вибратора до точек, в которых определяется поле, велико по сравнению с длиной вибратора (r>>l). Тогда в знаменателе подынтегрального выражения величи­ну R можно считать равной r и вынести за знак интеграла. Так как ‌‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌ то наибольшая относительная погрешность, возни­кающая при замене R на r, имеет порядок Кроме того, по предположению Как известно из кур­са физики (это будет также показано ниже), отношение c/f равно длине волны λ в среде без потерь с параметрами ε и μ. Поэтому k = 2π/λ, и в (5.1) можно заменить ехр (- ikR) на ехр (- iкг). При та­кой замене погрешность определения фазы подынтегрального вы­ражения равна С учетом изложенного формула (5.1) принимает вид

Отметим, что сделанное предположение о малости диаметра вибратора d по сравнению с его длиной не является необходимым. Достаточно считать, что d«r.

Вектор Н_т связано А_m соотношением Н_т =(1/μ) rot A_m. Век­тор Ё_т можно вычислить по формуле (2.57), однако несколько проще, найдя Н_m, определить Е_т из первого уравнения Максвелла:

В сферической системе координат rotA_m вычисляется по

формуле (П. 17). В рассматриваемом случае вектор А_m паралле­лен оси Z. Чтобы воспользоваться равенством (П. 17), нужно найти

Этот результат можно было предвидеть из физических сооб­ражений, так как прямолинейный ток вибратора может создать только кольцевые магнитные силовые линии, лежащие в плоско­стях, перпендикулярных оси вибратора.

Произведя дифференцирование, получим

Для определения вектора Е_m подставим найденный вектор Н_mв (5.2). Учитывая, что Н_т = Н_θт = 0 и дН_φт/дφ =0, приходим к выражению

Полученные формулы определяют составляющие комплекс­ных амплитуд векторов Е и Н. Для перехода к мгновенным значениям векторов Е и Н нужно полученные выражения умно­жить на exp(iωt). а затем отделить действительную часть (Е =