Производная и ее вычисление

Пусть функция f(x) определена на промежутке (а, b), точка произвольная точка из области определения функции^*. Обозначим ^через -> f( ) = f( + x;) f( ) приращение функции в точке , вызванное приращением x независимой переменной х. Производной функции f(x) в точке x= , I (a,b), называется предел отношения приращения функции f( ) к приращению x при стремлении x к нулю, т.е.

Здесь f ( ) производная функции в точке I (a, b).

Порядок выполнения работы

1). Найдите по определению производную функции

f(x)= .

Вычислите значение производной в точке x = 0. Поскольку f(0) = 0, то приращение функции f(x) в точке х = 0 равно f(0) = f(0 + x) - f(0) = f( x) - f(0) = f( x).

Указание:

1. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.

2. Определите функцию.

3. Определите приращение функции в указанной точке.

4.Вычислите предел отношения приращения функции к прира-щению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

5. Вычислите производную аналитически.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащего необходимые вычисления, приведен ниже.

Значение функции при x, отличном от нуля

Производная функции f(x) в точке х=0 существует и равна 4.

f (x)=4

Рис. 35. Символьное дифференцирование

Указание. Символ приращения выберите в панели греческого алфавита. Предел вычисляется средствами символьной математики пакета. Для того чтобы вычислить производную с использованием меню символьных операций, введите выражение дифференцируемой функции, выделите переменную х и щелкните по строке Differentiate в строке Variable меню Symbolics (рис. 35.). Можно поступить по-другому. Щелкнув по кнопке , разверните панель инструментов Calculus, щелкните в ней по кнопке дифференцирования , введите имя функции и переменной в помеченных позициях, выделите выражение и нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9> (рис.36.).