Индивидуальны задания к лабораторной работе 8.

Вычислите неопределенный интеграл  и проверьте правильность вычислений, постройте графики семейства первообразных.

	f(x)		f(x)
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Лабораторная работа 9

Определенный интеграл

Определение и вычисление определенного интеграла

Рассмотрим функцию f(x), определенную на промежутке [a, b]. Разо-бьем промежуток на п произвольных частей точками

и обозначим

.

На каждом промежутке  возьмем произвольную точку x_i и вычислим в ней значение функции f(x). Выражение

называется интегральной суммой функции f(x). Если при  существует и конечен предел , не зависящий ни от способа разбиения промежутка [а, b] точками , ни от выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b], a саму функцию - интегрируемой на [a, b]. Обозначают

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если f(x) > 0, то  равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b.

Порядок выполнения работы

Задание1. Вычислить значение интеграла от линейной функции, определить площадь соответствующей фигуры, записать выражения для инте-гральных сумм (при разбиении отрезка интегрирования на N равных частей длины ), найти пределы интегральных сумм и по-строить графики зависимости интегральных сумм от N и от D.

f(x) :=2х + 1    а := 1    b := 5

Указание. Для того чтобы вычислить определенный интеграл, щелкните в панели  по кнопке  и введите с клавиатуры в помеченных позициях пре-делы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования;

выделите выражение, щелкните по кнопке  в панели , а затем по ра-бочему документу вне выделяющей рамки. Вычисленное значение интеграла будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Постройте график функции. Геометрическая фигура, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и прямы-ми x = а, x = b, трапеция. Вычислите площадь трапеции и сравните со значением интеграла. Разбейте отрезок [a, b] на N равных частей и определите три интеграль-ные суммы как функции N, различающиеся способом выбора точки  на отрезке : SI(N) для , Sr(N) для  и Sm(N) для . Чтобы определить соответствующую интегральную сумму, введите с клавиатуры ее имя и знак присваивания; щелкните по кнопке  в панели  и введите в помеченных позициях индекс суммирования, его начальное и конечное значения и выражение для вычисления слагаемого. Чтобы найти предел интегральной суммы при , щелкните по кнопке  в панели , введите в помеченных позициях N, бесконечность

и имя соответствующей интегральной суммы, выделите выражение предела, щелкните по кнопке  в панели  и по рабочему документу вне выделяющей рамки. Сравните значения полученных пределов между собой и со значением интеграла. В приведенном фрагменте построены два графика интегральных сумм. Левый гра-фик изображение зависимости интегральных сумм от N. На графике видно, что при любом значении N интегральная сумма Sm(N) равна значению интеграла, а ин-тегральные суммы SI(N) и Sr(N) стремятся к нему с ростом N, монотонно возрастая и убывая соответственно. На правом графике изображена зависимость значений интегральных сумм от длины отрезка разбиения .

Видно, что, когда длина отрезка разбиения стремится к нулю, значения интеграль-ных сумм стремятся к точному значению определенного интеграла.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad

Значения подынтегральной функции вычисляются в левых концах отрезков

Значения подынтегральной функции вычисляются в правых концах отрезков

Значения подынтегральной функции вычисляются в серединах отрезков

Задание 2. Для заданной функции исследуйте поведение интегральных сумм на заданном отрезке интегрирования, разбивая отрезок интегрирования на равные части. Вычислите определенный интеграл и сравните его значение со значениями пределов интегральных сумм.