5.2. Теорема о соответствии формы эпюра зарядного напряжения длинной линии и формы импульса тока нагрузки

Докажем теорему, устанавливающую связь между формой эпюра зарядного напряжения ЛРК и формой импульса тока нагрузки [12].

Теорема 1. Форма импульса тока в согласованной линейной активной нагрузке однородной ЛРК при волновом законе коммутации L-ключей соответствует в определенном масштабе форме зарядного напряжения, т. е.

i(t^*) = au(x^*), (5.3)

где a – масштабный множитель; t^* = t/_и; x^* = x/l – относительные время и текущая координата линии.

Для доказательства теоремы обратимся к рис. 5.3, а.

Рис. 5.3

Пусть задан закон изменения зарядного напряжения ЛРК u(x^*), причем для простоты примем, что функция u(x^*) непрерывна на отрезке 0  x^*  l и не меняет свой знак. Зарядим каждый отрезок линии (рис. 5.3, а) до напряжения U_k =  . Значение определяется расстоянием от нагруженного конца линии до середины отрезка k:  = (2k – 1)/2n.

Тогда

U_k = u[(2k – 1)/2n]. (5.4)

При замыкании ключа К₁ в момент времени  = 0 первый отрезок линии разрядится на нагрузку и сформирует в ней прямоугольный импульс тока с амплитудой I₁ = U₁/2 и относительной длительностью  = 1/n. В момент времени  =  /2 + t^* замкнем ключ К₂. Второй отрезок линии начнет разряжаться на уже разряженный конец первого отрезка. Ток разряда второго отрезка I₂ = U₂/2. К моменту времени t^* =   +  /2 =   + t^* фронт волны тока I₂ достигнет нагрузки. В это время по первому и по второму отрезкам линии движутся волна напряжения U₂/2 и волна тока I₂. Поскольку R = , то отраженные от нагрузки волны отсутствуют, и в ней выделится второй прямоугольный импульс тока с амплитудой I₂ и длительностью  =  . В момент времени  =   +  /2 + t^* =   + 2t^* замкнем ключ К₃. Третий отрезок линии начнет разряжаться на второй отрезок. Амплитуда тока разряда I₃ = U₃/2, и при достижении волны тока I₃ нагрузки в ней выделится третий импульс с амплитудой I₃ и длительностью  =   =  .

Продолжив аналогичные рассуждения, дойдем до отрезка n. После замыкания ключа К_n по всем отрезкам линии к нагрузке передается импульс тока I_n = U_n/2, который появится в нагрузке с задержкой t_зад = (n – 1)(  + t*).

В результате в нагрузке выделится n прямоугольных импульсов равной длительности с амплитудами

I_k = U_k/2 (5.5)

и отстающих друг от друга на время t^* (рис. 5.3, б). При стремлении t^*  0 отдельные прямоугольные импульсы тока нагрузки сомкнутся в единый импульс ступенчатой формы длительностью  = 1 (рис. 5.3, в). Устремим теперь к бесконечности число разбиений линии на отрезки (n  ), не меняя ее общей длины и выполняя условие (5.4). Число ступеней импульса тока нагрузки также будет стремиться к бесконечности, а амплитуда каждой ступени определяться зависимостью (5.5), причем момент времени, в который измерялась амплитуда I_k, равен  =  . При n   ток нагрузки в любой момент времени 0  t^*  1

i(t^*) = u(x^*)/2. (5.6)

Зависимость (5.6) соответствует зависимости (5.3), если принять a = 1/2. Поскольку на функцию u(x^*), кроме требования непрерывности и униполярности, никаких дополнительных ограничений не накладывалось, она мо­жет быть выбрана достаточно произвольно. При этом равенство (5.6) справедливо всегда и, таким образом, теорема доказана. Несложно показать, что данная теорема справедлива и для более общего случая, когда функция имеет разрывы 1-го рода и меняет свой знак на отрезке 0…1 произвольное конечное число раз. Но при этом доказательство становится более громоздким, а смысл теоремы – менее ясным.

Поскольку i(t^*) = u_н(t^*)/R, где u_н(t^*) – напряжение на нагрузке, зависимость (5.6) может быть представлена в виде u_н(t^*) = u(x^*)/2, который в некоторых случаях может оказаться предпочтительнее.

Приведем следствия, вытекающие из теоремы:

1. Случай генерирования импульсов тока прямоугольной формы является частным при u(x^*) = const, и распределенный ключ может отсутствовать.

2. В случае, когда функция u(x^*) униполярна, ток в распределенном ключе однонаправлен и в линии может быть использован распределенный L-ключ с односторонней проводимостью, т. е. распределенный управляемый вентиль.

3. В случае, когда выполняется условие du(x^*)/dx^*  0, в линии может быть использован неуправляемый распределенный вентиль.

4. Условие согласования ЛРП с нагрузкой  = R является и условием согласования ЛРК.

Аналогично доказывается соответствие формы импульса тока нагрузки форме эпюра зарядного напряжения для линии с распределенным С-ключом.