Рациональный выбор решений: аксиомы, задачи, парадоксы

Рациональный выбор означает, что решение ЛПР является результатом упорядоченного процесса мышления. Термин «упорядоченный» можно определить в строгой математической форме с помощью аксиом рационального выбора решений (особенно в области экономических решений). При условии, что аксиомы справедливы, доказано существование некой функции, устанавливающей выбор ЛПР, - функции полезности. Полезностью называют величину, которую ЛПР максимизирует в процессе выбора решения. С экономической точки зрения полезность – это мера ценности (психологической или потребительской) товара.

Человек, который следует этим аксиомам, в экономике называется рациональным ЛПР. Существует шесть аксиом рационального поведения.

Обозначим через различные результаты процесса выбора, а через - их вероятности. Введем определение лотереи: это игра с двумя исходами, а именно, с вероятностью , с вероятностью , где . Пример лотереи – подбрасывание монеты. Средняя (ожидаемая) цена лотереи равна px+(1-p)y.

Приведем аксиомы рационального выбора:

1. Исходы и принадлежат множеству исходов ;

2. Пусть означает строгое предпочтение , – нестрогое предпочтение , – безразличие .

Ясно, что включает и . Тогда аксиома 2 заключается в выполнении двух условий:

а) связности: либо , либо , либо то и другое вместе;

б) транзитивности: из .

3. Две представленные на рисунке лотереи находятся в отношении безразличия:

справедливость которой очевидна.

4. Если исход и находятся в отношении безразличия , то .

5. Если (отношение строгого порядка), то ;

6. Если , то существует вероятность такая, что .

Теорема:

В предположении, что все шесть указанных аксиом выполняются, доказано, что существует – числовая функция полезности, определенная на множестве исходов такая, что:

1. (нестрогое предпочтение) тогда и только тогда, когда ;

2. .

Функция – единственная с точностью до линейного преобразования, т.е. если , то , где – целое положительное число.

Теория полезности экспериментально исследовалась для задачи с вазами (урнами).

Задача с вазами. Ваза – непрозрачный сосуд, в котором находится известное лишь организатору эксперимента количество шаров различного цвета. Выбор в этой задаче человек делает, основываясь на теории вероятности.

Перед ЛПР ставится ваза, которая может быть 1-го или 2-го типа. ЛПР дается следующая информация:

• сколько имеется ваз 1-го или 2-го типа;

• сколько черных и красных шаров в вазах 1-го или 2-го типа;

• какие выигрыши ожидают ЛПР, если он угадает какого типа ваза;

• какие проигрыши его ожидают при ошибке.

ЛПР должен назвать тип вазы поставленной перед ним!

Пусть экспериментатор случайно выбирает вазу из множества, содержащего 700 ваз 1-го типа и 300 ваз 2-го типа.

Если перед ЛПР ставится ваза 1-го типа и он угадывает ее тип, то он получит 350 денежных единиц (д.е.). Если он не угадает, то проиграет 50 д.е.

Для вазы 2-го типа выигрыш составляет 500 д.е., а проигрыш – 100 д.е.

Полезность равна количеству д.е. ЛПР может предпринять одно из двух действий: d₁ – сказать, что ваза 1-го типа; d₂ – сказать, что ваза 2-го типа.

Условия представим в виде таблицы:

Тип вазы	Вероятность выбора вазы данного типа (р1 и р2)	Действия и выигрыши ЛПР
		d1	d2
1	0,7	350	-100
2	0,3	-50	500

Теория полезности на вопрос «Что делать?» отвечает так: необходимо оценить среднюю (ожидаемую) полезность каждого действия и выбрать действие с максимальной полезностью, то есть:

Разумный человек выберет действие d₁.

Задача с вазами хорошо интерпретируется графически с помощью дерева решений( Рис.), где прямоугольник означает, что решение принимает человек, круг – лотерейный выбор, ветви дерева – вероятности, листья дерева – значения исходов).

Для чего нужно дерево решений? Мы им воспользуемся, чтобы формально найти последовательность правильных действий, ведущих к максимальной ожидаемой полезности. Чтобы это показать, усложним задачу.

Будем считать, что в вазе 1-го типа находятся 6 красных и 4 черных шара. В вазе 2-го типа - 3 красных и 7 черных шаров.

Предоставим ЛПР дополнительную возможность: он может до своего ответа вытащить за определенную плату из вазы один шар и положить обратно. Плата = 60 д.е.

Задача стала сложнее: надо решить вынимать ли шар и если вынимать, то какой ответ дать после вытаскивания красного или синего шара? - Для ответа воспользуемся теорией вероятности.

Вероятность вытащить красный шар из вазы 1-го типа равна , а из вазы 2-го типа - .

Зная эти условные вероятности, а также вероятности р₁ и р₂ выбора ваз 1-го и 2-го типа, можно дать ответ на следующие вопросы:

1. Каковы вероятности вытащить красный шар? -

, следовательно

2. Пусть вытащенный шар оказался красным (черным), какое действие выбрать, d₁ или d₂? – Для ответа на этот вопрос вначале вычислим вероятности принадлежности ваз к 1-му и 2-му типу после получения дополнительной информации о цвете вытащенного шара. Эти вероятности определим по формуле Байеса.

Например, вытащен красный шар, какова вероятность того, что перед ЛПР находится ваза 1-го типа? – Приведем обозначения вероятностей:

– вероятность вытащить красный шар из вазы 1-го типа;

– вероятность вытащить черный шар из вазы 1-го типа;

– вероятность вытащить красный шар из вазы 2-го типа;

– вероятность вытащить черный шар из вазы 2-го типа;

– вероятность того, что ваза окажется 1-го типа;

– вероятность того, что ваза окажется 2-го типа;

– вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания красного шара;

– вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания черного шара;

– вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания красного шара;

– вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания черного шара.

Используем формулу Байеса для вычисления :

, аналогично получаем

Теперь мы имеем всю информацию для построения дерева (Рис.) и принятия решения. Квадрат 1 – решение вытаскивать шар или нет (верхняя часть дерева – отказ от эксперимента с вытаскиванием). Квадраты 2, 3, 4 – решения о выборе стратегий d₁ или d₂ . Круги – лотерея.

Существует три простых правила выбора оптимальной последовательности решений на основе дерева:

1. Идти от конечных вершин дерева к корню;

2. Там, где есть случайность ( ), определяется среднее значение;

3. Там, где этап ПР ( ), выбирается ветвь с максимальной ожидаемой полезностью, а другая ветвь отсекается ( ).

Если применить эти правила к приведенному выше дереву решений, то оптимальным решением здесь будет следующее: шар не вытаскивать и выбирать действие d₁ (верхняя ветвь дерева).

Возникает вопросы: нельзя ли заменить ЛПР автоматом ПР? соответствует ли представленная здесь процедура «сворачивания» дерева особенностям человеческого принятия решения?

Для ответа на эти вопросы приведем парадокс М. Алле, представленный двумя лотереями (Рис.):

Анализ дерева слева показывает: , т.е. при выборе между действием А (получить 1 млн) и В (согласиться на лотерею) большинство ЛПР предпочитает А. Из этого следует, что или .

Дерево решений справа есть выбор между лотереями С и D. Большинство ЛПР предпочитают С. Тогда , т.е. . Выбирая С ЛПР действует не в соответствии с функцией полезности.

Известен еще более простой пример парадокса Алле (Рис.). Нетрудно показать, что средняя цена лотерей одинакова и равна 22.

Однако людям небезразлично, какую из лотерей выбрать. Большинство выбирает правую лотерею (в ней исключен риск проигрыша), хотя простой подсчет показывает, что средняя цена обоих лотерей одинакова.

Как объяснить такое парадоксальное поведение людей? Приведем еще один пример нерационального поведения ЛПР – «дилемму генерала».

Дилемма генерала. Генерал потерпел поражение в войне и хочет вывести свои войска (600 тыс. чел.) с территории противника. Есть две дороги и разведка дала оценки возможных потерь:

1. первая дорога – спасти 200 тыс. чел.

2. вторая – или спасти всех (вероятность 1/3) или потерять всех (вероятность 2/3). Многочисленные эксперименты показали, что большинство людей выбирает первую дорогу (Рис.), стараясь избежать лотереи, один из исходов которой – гибель всего личного состава.

Та же самая дилемма после этого представлялась ЛПР в ином виде (Рис):

Здесь большинство выбирало вторую дорогу, т.к. на ней можно спасти с вероятностью 1/3 все соединение.

Все эти эксперименты продемонстрировали, что ЛПР часто отклоняется от рационального поведения, используя различные предпочтения.

Рис.1

Экспериментально установлены восемь типовых функций предпочтения ЛПР. Представим их графически, откладывая на оси абсцисс объективно измеряемый параметр х (выигрыш или проигрыш), а на оси ординат – значение субъективной функции полезности U(x).

На рис.1 ЛПР считает, что полезность прямо пропорциональна измеряемому параметру х. Это пример «объективного» ЛПР, однако реальные ЛПР такого графика предпочтений никогда не имеют. Рис.2 описывает психологию мышления «азартного» ЛПР (с увеличением выигрыша ему приписывается большая ценность, а реакция на потери - индифферентна). Рис.3 представляет «осторожного» ЛПР (предупреждение больших потерь и недооценка выигрыша). Рис.4 – ЛПР, паникующий при больших потерях и преувеличивающий ценность выигрыша. Рис.5 – ЛПР индифферентно реагирующий как на потери, так и на выигрыш. Рис.6 – «нормальный ЛПР» (объективный при небольших проигрышах/выигрышах, умеренно азартный при средних проигрышах/выигрышах, индифферентный к большим проигрышам/выигрышам). Рис.7 – «выигрывающий» ЛПР, добавляющий постоянную «премию» (+/-) за выигрыш/проигрыш.

Рис.2 Рис.3

Рис.4 Рис.5-6

Р ис.8 – ЛПР, который считает полезным только выигрыш не менее величины а.

Рис.7-8.

Признание нерациональности мышления ЛПР заставило искать причины этого. Основными из них являются: недостаток информации у ЛПР в процессе выбора; недостаточный опыт ЛПР; стремление найти оптимальное решение сразу по нескольким критериям приводит к тому, что ЛПР не может его найти.

Возникает вопрос: насколько необходимо учитывать нерациональность поведения ЛПР? – Оказалось, что этот вопрос особенно важен в задачах экономического выбора (предсказание поведения потребителя, чтобы определить спрос, объем производства, цену товара и т.п.). В частности, экономисты различают два типа предпочтений: наблюдаемые и выявляемые.

Оказалось, что знание поведения ЛПР при определении наблюдаемых предпочтений, ничего не дает (для производителей чая неважно, что отдельный покупатель выбирает сорт чая нерационально; здесь важно знать спрос на тот или иной сорт чая большой группы покупателей).

Совсем иное дело, если требуется предсказать спрос. Для этого нужно вначале спрос выявить на основе мнений потребителей еще до их выбора.

Стремление учесть реальное поведение ЛПР и приблизить ТПР к практике привело к созданию новой теории – теории проспектов (А.Тверский, Д.Канеман).

Теория проспектов позволяет учесть три поведенческих эффекта:

1. Эффект определенности; т.е. тенденцию ЛПР придавать больший вес детерминированным исходам;

2. Эффект отражения; т.е. тенденцию к изменению предпочтений при переходе от выигрыша к проигрышу;

3. Эффект изоляции; т.е. тенденцию к упрощению выбора.

В теории проспектов ситуация ПР представляется в виде игры , где исход осуществляется с вероятностью , а исход с вероятностью . Эта игра предусматривает также нулевой исход с вероятностью .

Графически проспект представляется в виде:

В игре оценивается не полезность решения, а его ценность по формуле:

, где и – ценность исходов и .

, и – это вес (важность) предпочтений и соответственно.

В теории проспектов предполагается, что функция ценности является выпуклой для выигрышей и вогнутой для потерь (см. рис. слева). Важное отличие теории проспектов от теории полезности состоит в том, что в теории полезности вероятность умножается на полезность, а в проспекте используется специальная функция поведения П(p) (см. рис. справа), которая не починяется всем законам теории вероятности.

Можно показать, что теория проспектов позволяет избежать парадокса Алле. Однако уже сейчас найдено немало примеров, в которых теория проспектов приводит к противоречиям.