Коллективные решения

Парадокс Кондорсе. Примерно 200 лет назад французский ученый маркиз де Кондорсе предложил принцип, который позволял определить победителя при демократических выборах:

«Кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах».

Согласно этому принципу справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных за них. Однако вскоре Кондорсе обнаружил парадокс при голосовании на выборах председателя национального собрания Франции, состоящего из 60 человек. На голосование были поставлены 3 кандидата: А, В и С. Голоса распределились, как в табл.1:

Число голосующих	Предпочтения
23	A→B→C
17	B→C→A
2	B→A→C
10	C→A→B
8	C→B→A

Сравнивая предпочтения попарно, получаем: В→С (42 против 18), С→А (35 против 25), А→В (33 против 27). В итоге, приходим к противоречию в виде нетранзитивного отношения: A→B→C→A ! Кондорсе выбрал наименьшее зло, т.е. мнение, которое поддерживается большинством голосов (избранным следует считать А).

Правило большинства голосов. Изменим результаты голосования, чтобы избежать парадокса Кондорсе. Предположим, что результаты голосования распределились, как в табл.2:

Число голосующих	Предпочтения
23	A→С→В
19	B→C→A
16	С→В→А
2	C→A→B

Нетрудно подсчитать, что в соответствие с Кондорсе избранным будет кандидат С, который при попарном сравнении побеждает А и В.

Однако, если мы используем не принцип Кондорсе, а более традиционный принцип большинства голосов, то победителем окажется А, но он при этом не набрал абсолютного большинства голосов.

Отсюда следует, что способ определения победителя при демократической системе выборов сильно зависит от процедуры голосования.

Метод Борда. Отметим еще одну интересную процедуру выбора победителя. Согласно методу Борда результаты голосования выражаются числом баллов, набранных каждым из кандидатов. Если кандидатов N, то за первое место присуждается N баллов, за второе – N-1, …, за последнее – 1 балл. Применим этот метод к таблице 2. Кандидаты получат следующие баллы:

Победитель – кандидат С. Однако и с этим методом возникают проблемы. Предположим, что результаты голосования представлены в табл.3:

Число голосующих	Предпочтения
31	A→С→В
12	B→C→A
17	С→В→А
2	C→A→B

Подсчитав баллы по методу Борда, получим: А – 124, В -103, С – 137, т.е. победитель С. Однако в данном случае явным победителем, набравшим абсолютное большинство голосов (31 из 60), будет кандидат А.

Парадоксы при выборах не возникают, когда есть два кандидата и победитель определяется по принципу абсолютного большинства голосов. Однако такой случай нетипичен для большинства выборов в демократических странах. Эти парадоксы сохраняются и при введении двух туров и условии, что во второй тур выходят два кандидата набравшие большинство голосов.

Аксиомы Эрроу. В 1951 г. американский профессор из Стенфордского университета Кеннет Эрроу выполнил исследование всех возможных систем голосования. Он поставил вопрос: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она одновременно была рациональной (без противоречий), демократической (один человек – один голос), и решающей (позволяла осуществить выбор). Вместо попыток изобретения такой системы Эрроу сформулировал набор аксиом, которым эта система должна удовлетворять. Он попытался доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трем перечисленным выше принципам (рациональная, демократическая и решающая). Приведем эти аксиомы.

1. Аксиома универсальности. Система голосования должна учитывать все возможные распределения голосов при любых предпочтениях избирателей;

2. Аксиома единогласия. Коллективный выбор должен в точности повторять единогласное мнение всех голосующих;

3. Аксиома независимости от несвязанных альтернатив. Пусть избиратель считает, что из пары кандидатов А и В лучшим является А. Это предпочтение не должно зависеть от отношения избирателя к прочим кандидатам (часто эта аксиома нарушается судьями в фигурном катании;

4. Аксиома полноты. Система голосования должна позволять сравнивать любую пару кандидатов, определив, кто из них лучше. При этом имеется возможность объявить двух кандидатов равнопривлекательными;

5. Аксиома транзитивности. В системе голосования недопустимо нарушение транзитивности.

Определив эти пять аксиом, Эрроу доказал теорему, согласно которой системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают недопустимым с точки зрения демократии недостатком: каждая из этих систем является правилом диктатора – личности, навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения.

Этот результат получил широкую известность и развеял надежды найти совершенную систему голосования. Требование исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу. Поэтому результат Эрроу называют теоремой невозможности.

С 1951 года предпринимаются попытки «смягчить» аксиомы, чтобы избежать неприятного для демократии вывода, но, увы, безуспешно. С точки зрения реальной практики важно знать насколько часто нарушаются приведенные выше три условия. Оказалось, например, что принцип рациональности в ходе голосования нарушается примерно в 6-9% случаев. Очень сильное влияние на умы избирателей оказывает промывка мозгов – целенаправленная избирательная кампания с искажением фактов, «грязными» приемами, подтасовками и т.п. Это приводит к разочарованности избирателей в демократии, необходимости использования независимых источников информации. Примириться с парадоксальным результатом Эрроу помогают известные слова У.Черчилля о том, что «демократия является плохой формой правления, но человечество пока не придумало ничего лучшего».