19.6. Задания и ответы

Найдите решение биматричной игры:

'2 6

в) А =

Ответы:

ч 3 1 „ ЛЗ Л 10 „ ЛЗ 1\ 22

^а) р = 5'^q = з^{: На} [ъ>з; ⁼ Т'^Нв \vъ) ⁼ т-

6)p = l,q= 1: Я_л(1,1) = 4, Я_в(1,1) = 1;

р = 0, q = 0: Н_Л(0, 0) = 1, Я_в(0,0) = 4;

4 1 „ /4 Л 4 „ А А 4

Р = 5' ^{q =} 5^{: На} \Б> Ъ) ⁼ 5' ^Нв \Ъ^Ч Ъ) ⁼ 5'

в) р = 0, q = 0: Я_л(0,0) = 1, Я_в(0,0) = 1.

Лекция 15. Игры п лиц в нормальной форме

• Игра п лиц как математическая модель совместного принятия решения в условиях несовпадения интересов. Бескоалиционные иг­ры. Примеры экономических задач, моделируемых бескоалиционными играми. • Принцип оптимальности в форме равновесия по Нэшу. Некоторые особенности принципа равновесия по Нэшу. • Теорема Нэша о реализуемости принципа равновесия в смешанных стратегиях.

• tC-устойчивостъ. Формулировка условия К-устойчивости в рамках системного описания и на языке стратегий. • Задача 20. Задача рас­пределения ресурсов.

1. Системное описание задачи принятия решения в общем слу­чае отражает воздействие на объект управления со стороны п управляющих подсистем, где п > 2. Пусть X_t — множество альтер­нативных управляющих воздействий г-й управляющей подсисте­мы, А — множество исходов (в качестве которых выступают состо­яния управляемой подсистемы). Функция реализации F в этом слу-

п

чае задается в виде отображения множества ситуаций X = ]~[ Х_г во

множество исходов А. Таким образом, функция реализации каждой ситуации х = (х\,..., х_п) G X ставит в соответствие определяемый ею исход F[x) G А. В теоретико-игровой терминологии управляю­щие подсистемы называются игроками, а множество Х_г — мно­жеством стратегий иррока г (i = 1,п).

Для задания целевой структуры рассматриваемой задачи при­нятия решения необходимо задать оценочную функцию ср_г : А -> К для каждого игрока г. Композиция /_г = ip_toF называется функцией выигрыша игрока г, а число f_t(xi,.. .,х_п) есть оценка полезности ситуации (xi,..., х_п) с точки зрения игрока г.

Итак, математическая модель данной задачи принятия решения имеет вид

г = </,(х,),б/, (/.).е/), а⁵-¹)

214

_где / = {1,..., n} — множество игроков, Х_г — множество стратегий _йГрока г, /_г : X —> R — функция выигрыша игрока г. Такая ^тематическая модель называется игрой п лиц в нормальной форме.

Формирование ситуации в игре Г состоит в выборе каждым игроком г 6 I некоторой стратегии х_г € Х_г, при этом возника­ет ситуация х = [x_t)iЈj. Полученную ситуацию каждый игрок i = 1,п оценивает со своей точки зрения с помощью функции /_г; удобно считать, что f%(x) есть величина выигрыша, получаемого игроком г в ситуации х. Таким образом, игра п лиц может рас­сматриваться как математическая модель совместного приня­тия решения несколькими сторонами, имеющими несовпадающие интересы.

Следует отметить, что при содержательном анализе процеду­ры совместного принятия решения в игре п лиц возникают весьма сложные проблемы, связанные с возможной кооперацией игроков, т.е. объединением их в коалиции. Формальный анализ кооператив­ного аспекта игры требует дополнительных данных, касающихся возможных действий коалиций, их предпочтений, способов обме­на ими информацией о принимаемых решениях и т.п. Если в игре создание коалиций запрещается, то она называется бескоалици­онной. Бескоалиционная игра является математической моделью децентрализованной системы управления, для которой информаци­онные связи между управляющими подсистемами настолько незна­чительны, что ими можно пренебречь.

Игра Г вида (15.1), в которой п = 2 и множества стратегий игро­ков конечны, называется биматпричной игрой; такая игра может быть задана парой матриц А = ||a^||, В = ||6^|| (г = l,n; j = l,m), где А — матрица выигрышей игрока 1 к В — матрица выигры­шей игрока 2. Указанная биматричная игра далее обозначается че­рез Г(дв). Иногда биматричная игра задается одной матрицей фор­мата п х га, причем элемент, стоящий в г-й строке и j-м столбце ^этой матрицы должен представлять собой пару вида (а^, Ь³_г), первая компонента которой есть выигрыш игрока 1, а вторая — выигрыш Игрока 2 в ситуации (г, j).

Отметим, что в биматричной игре выигрыш игрока 1 может не совпадать с проигрышем игрока 2. В случае, когда это обстоятель­ство имеет место, т.е. когда о?_г — —У_г при всех г = 1, гг, j — 1,га, Получается матричная игра с платежной матрицей А. Задание мат­рицы В становится здесь излишним.

215

(3) Суммарный выигрыш, полученный всеми игроками коали-_jW S, может быть распределен между ее членами любым спосо­бом.

Это условие включает, во-первых, «безграничную делимость»

ислезностей игроков и, во-вторых, возможность «передачи полез­ности» от одного игрока к другому (как говорят в теории игр — _в0зможность «побочных платежей»).

Бели для игры Г предположения (1)-(3) приняты, Г становится кооперативной игрой (точнее, кооперативной игрой с разрешен­ными побочными платежа.ми). Основная проблема, возникающая з кооперативных играх, — введение для них понятия оптимально­го исхода, а также выяснение условий существования оптимальных исходов и разработка способов их нахождения.

В кооперативной игре возможности коалиции S можно охарак­теризовать одним числом v(5), представляющим собой максималь­ный гарантированный суммарный выигрыш игроков коалиции S в наиболее неблагоприятных для нее условиях, когда все осталь­ные игроки также объединяются в коалицию с противоположны­ми интересами. Формально v(S) есть цена антагонистической игры коалиции S против коалиции остальных игроков I \ S. Так как множеством стратегий коалиции S является YI Х{, множеством

i<=S

стратегий коалиции I\S является f| Xi и функция выигрыша ко-

iЂl\S

алиции S есть fs = £3 /»» ^{то иена} построенной антагонистической игры определяется равенством

v(S) = sup inf fs(x,y), (17.2)

где

ies

Замечания 1. В случае, когда множества стратегий игроков ко­нечны, операторы sup и inf превращаются соответственно в max и min;

равенство (17.2) дает тогда нижнюю цену получающейся матричной иг­ры.

2. Суммирование выигрышей разных игроков имеет смысл лишь тог-Д^а, когда они измеряют свои полезности в одной шкале. Поэтому, если Первоначально это условие не выполнено, то при переходе к коопера­тивному варианту игры необходимо «пересчитать» функции выигрыша Сроков, приведя их к единой шкале.

247

Определение. Функция, которая каждой коалиции S С I _CTn вит в соответствие число v(S), определенное равенством (17 о\ называется характеристической функцией игры Г. Дап (7,d), где I — множество игроков и v — характеристически функция игры Г, называется кооперативной игрой, постр₀^ енной для игры Г.

Кооперативная игра {/, и) является уже нестратегической (в ней не отражены возможности игроков по формированию ситуаций иг­ры с помощью выбора стратегий), однако последствия, связанные с возникновением тех или иных ситуаций игры Г и касающиеся не только отдельных игроков, но и их коалиций, отражены в характе­ристической функции v.

Установим основные свойства характеристической функции игры п лиц.

Теорема 17.1. Характеристическая функция v обладает сле­дующими основными свойствами:

(1) v(0) = О (персоналъность);

(2) Если Si П S₂ = 0, то v(Si) + v(S₂) < v(Si U S₂) (суперадди­тивность).

Доказательство. Свойство (1) очевидно из определения. Докажем (2). Пусть Si П S₂ = 0. По определению супрему­ма для любого £ > 0 найдутся такие стратегии xs_v Ђ Xs_t и xs₂ G Xs₂, что в любой ситуации у € Х[ выполняются неравен­ства: fsAv\\^xSy) > v(Si) - е, fs₂(y\\^xs₂) > v{S₂) - е. Определим стратегию х^ U xs₂ коалиции S\ U S₂, для которой ее г'-я компо­нента совпадает с г-й компонентой стратегии xs^, если г Е S\ и с г-й компонентой стратегии xs₂, если i € S₂ (такая стратегия су­ществует в силу условия Si C\S₂ = 0). Замечая, что y\\(xsi Uxs₂) ⁼ ~ (ylksaJII^Si = (уЦх^г)!^^! получаем при произвольной ситуации yeXj:

fs_l(v\\(^_lU x_S2)) > v(Si) ~ e, (*)

fs₂{yUx_SlUxs₂))>v{S₂)-e. (**)

Складывая эти неравенства и учитывая, что fg_x + fs₂ = /siU5₂' получаем

fsiUsAvMxsi U x_S3)) > v(Si) + v{S₂) - 2e,

откуда

inf fs₁us₂(y\\(x_s, Ux₅₂)) > v(S₁) + v{S₂)₎

248

следов

ательно.

sup inf f_Slus₂{y\\x) > viSi) + v{S₂),

x<EX_Slus₂yЈ^X!<

_t,e.v(SiUS₂)>v(Si)+v(S₂).

Свойство супераддитивности по индукции распространяется а_а любое число коалиций, а именно, для произвольного семейст­ва (Sk)k=Tr попарно непересекающихся коалиций имеет место не­равенство

Ј*№)<«(U⁵*)- ^(17,3)

fc=l fc=l

0 частности, представляя произвольную коалицию S в виде семей­ства одноэлементных коалиций {г}, где г 6 S, получаем

£>(*) <«($)• (17.4)

Свойство супераддитивности характеристической функции име­ет следующий содержательный смысл. Соединяя свои возможнос­ти, коалиции Si и S₂ получат во всяком случае не менее того, что они получили бы в сумме, действуя порознь. Для непересекающихся коалиций Si и 5₂ разность v(Si U S₂) ~ (i>(Si) + v(S₂)) есть неот­рицательное число, показывающее дополнительную выгоду, кото­рую получают коалиции Si и S₂ от объединения в «единое целое». В частности, если эта разность равна нулю, то объединение коали­ций 5*1 и S₂ в одну коалицию Si U S₂ не приносит этим коалициям никакой дополнительной выгоды.

Замечание. В теории игр рассматриваются также характеристи­ческие функции, не связанные непосредственно с игрой п лиц. А именно, под абстрактной характеристической функцией над множеством иг­роков / = {1,п} понимается произвольное отображение v, которое каж­дой коалиции S С / ставит в соответствие определенное число v(S). Если абстрактная характеристическая функция обладает указанными в теореме 17.1 свойствами персональности и супераддитивности, то па-Р^& {I,v} называется кооперативной игрой. В конкретных случа­ях число v(S) имеет разный содержательный смысл, например, оно мо-*ет характеризовать силу коалиции; ее гарантированные возможности; *Вклад» в некоторое предприятие (как положительный, так и отрица­тельный); «уровень притязаний» и т.п. Примеры характристических

Л.

249

функций, не связанных непосредственно с игрой Г общего вида, привел ны ниже.

2. Введем отношение эквивалентности кооперативных игр, р_а сматриваемых над одним и тем же множеством игроков. Рассмот рим кооперативную игру {/, и). Зафиксируем положительное числе к > 0 и п чисел с_г (г = 1, тг). Положим

v'(S)=kv{S)+Y,b. (17.5,

Убедимся, что v' — также харктеристическая функция, т.е. что она удовлетворяет условиям теоремы 17.1.

(1) г/(0) = fcu(0) + J2 ^Сг -0 + 0 = 0 (персональность).

(2) Установим супераддитивность функции v'. Для любых двух непересекающихся коалиций Si,S₂ С / имеем

v'(S₁US₂)-(v'(S_i)+v'(S₂))=(kv(S₁US₂) + Y, °г)~

tGSiUS₂

- (kv(Si) + Y1 ^сг +Ь(5₂) + J^ сЛ = ieSi zes₂

= k{v{Si U S₂) - «(50 - v(S₂)) > 0.

Определение. Две коопертивные игры (I,v) и {I,v') называ­ются эквивалентными, если существует положительное число к > 0 и п чисел Сг (г = 1,п), при которых выполняется равенст­во (17.5).

Нетрудно проверить, что отношение эквивалентности коопера­тивных игр является отношением эквивалентности в теоретико-множественном смысле, т.е. оно рефлексивно, симметрично и тран-зитивно.

За счет подбора констант к > 0 и с_г (г = 1, тг) можно от за­данной кооперативной игры (/, v) перейти к эквивалентной ей ко­оперативной игре с теми или иными дополнительными свойствами. В частности, полагая к — 1 и с_г — —г>(г), получаем эквивалентную игру с характеристической функцией v°, имеющей следующий вид-

v°{S) ^v(S)-^v{i). (17.6)

250

^гласно (17.4), функция v° неотрицательна, т.е. v°(S) > 0 для _д10бой коалиции S С I. С другой стороны, любая неотрицатель­ная супераддитивная функция множества и (5) является изотон­ии. ^так как условие S₂ Э S\ влечет 52 = S\ U (S2 \ S\), откуда uffi) > ^U{S\) -f u(S2 \S\) > u(Si). Таким образом, для характерис-_тяческой функции v°

5_:С5₂ => v°{S_l)<v°{S₂). (17.7)

Для фиксированной коалиции S С I неотрицательное число v°(S) = v(S) — JZ ^v{i) будем называть величиной кооператив-

кого эффекта коалиции 5 в игре {I,v). Число v°(S) показывает тот дополнительный выигрыш, который получают игроки г € S при объединении их в коалицию. В терминах кооперативного эф­фекта условие (17.7) формулируется следующим образом: при уве­личении коалиции величина кооперативного эффекта возрастает (не уменьшается).

3. Охарактеризуем кооперативные игры, в которых не возника­ет кооперативного эффекта.

Теорема 17.2. Для кооперативной игры (I, v) следующие усло­вия эквивалентны между собой:

(а) Характеристическая функция v аддитивна (т. е. для лю­бых двух непересекающихся коалиций Si,^ выполняется условие v(S_lUS₂) = v(S_l) + v(S₂));

(б) v(S) = Yl ^v{i) для любой коалиции S С /;

(в) v{I) = £>(г).

Доказательство. Из (а) следует (б), так как в предположе­нии (а) имеем

*($) = «( U {*}) = ][>(о.

Далее, так как (в) есть частный случай (б), то из (б) следует (в). Остается проверить, что из (в) следует (а). Докажем равносиль­ную импликацию: из отрицания условия (а) следует отрицание Условия (в). Отрицание условия (а) означает, с учетом суперад-Дитивности функции i>, что для некоторых непересекающихся коа­лиций Si и 5г выполняется неравенство v(S\ U S₂) > v(Si) + v(S2).

251

Используя это неравенство и (17.4), получаем ^⁰(5₁U5₂)=^(5₁U5₂)- ]Г ti(t) =

tЂ5iU5₂

^ v(S₁ U S₂) - ^ v(i) + ^2 v(i)) >

> v(Si U S₂) - {v(Si) + v(S₂)) > 0.

Таким образом, для коалиции Si U S₂ величина кооперативного эффекта оказывается строго положительной, тогда в силу его изотонности тем более v°(I) > 0, т.е. v(I) > Yl ^v(i)- Последнее

неравенство есть отрицание условия (в).

Кооперативная игра {/, v), удовлетворяющая одному из эквива­лентных между собой условий (а), (б), (в) теоремы 17.2, называ­ются несущественной. Наиболее простым для проверки являет­ся условие (в). Условие (а) имеет чисто математический характер. Условие (б) с помощью функции v° может быть переписано в виде v°(S) = 0; оно означает, что для любой коалиции S величина ее кооперативного эффекта равна нулю.

Поскольку множество кооперативных игр, рассматриваемых над фиксированным множеством игроков, разбито на классы эк­вивалентности, возникает задача выбора в каждом таком классе наиболее простой в некотором смысле игры. С этой целью введем следующее определение.

Определение. Говорят, что кооперативная игра (J, v) имеет О — 1 -редуцированную форму, если:

(1) v(i) = 0 для всех i £ /;

(2) v(I) = 1.

Теорема 17.3. Каждая существенная кооперативная игра эквивалентна некотрой кооперативной игре, имеющей 0 — 1-реду-цированную форму.

Доказательство. В, силу условия существенности игры, выполняется неравенство

v(I)- 5>(г)>0.

Положим

_V*(S) = b(S) + ][>>0,

252

д_е k = l/(v(I) — ^2 v(i)), Ci — -kv(i). Тогда игра (I,v*) эквива-

г'6/

^нтна игре {/, г;), причем

г,* (г) = kv(i) -f с* - 0; „'(/) = kv(I) + £ * = Ь(/) - к £ »(О = к(у(1) - £ v(i)) = 1.

iel iЈl г€/

Замечание. В явном виде характеристическая функция v* может бить представлена в виде

v(s) - £ «(О

t>4S)= _m У,_т- (17-8)

Правая часть равенства (17.8) имеет следующий содержательный смысл: она показывает отношение величины кооперативного эффекта для коали­ции 5 к величине кооперативного эффекта для коалиции / всех игроков. Так как при увеличении коалиции коопертивный эффект возрастает, это отношение не превосходит единицы.

4. Рассмотрим кооперативную игру (7,г>). Будем интерпретиро­вать число v(S) как сумму, гарантированно получаемую коалици­ей S. Тогда коалиция I всех игроков может гарантированно полу­чить сумму v(l) и затем распределить ее любым способом между всеми игроками. Всякое такое распределение будем трактовать как возможный исход игры (/, v). Формально указанное распределение есть вектор х — (a?i,. .. ,я_п) 6 К™, г-я компонента которого по­нимается как сумма, которая достается игроку г 6 /. Вопрос, ка­кой исход кооперативной игры (/, v) следует считать оптимальным («правильным», «справедливым»), будет рассмотрен в следующей лекции, а сейчас укажем некоторые предварительные условия оп­тимальности исхода. Как уже было показано при изучении коопера­тивного решения биматричной игры (см. лекцию 16), безусловны­ми требованиями, предъявляемыми к оптимальному исходу, явля­ются требования индивидуальной и коллективной рациональности. В рассматриваемом случае эти требования принимают следующий вид.

(Л1) Xi > v(i) для всех i € / (индивидуальная рациональность); (Л2) £ ^хг = ^V{I) (коллективная рациональность).

253

Замечание. Требование индивидуальной рациональности оэнач ет, что игрок г получает при распределении х не меньше той вещр^ ны, которую он может получить гарантированно, действуя в одиночк\ Поясним требование коллективной рациональности. Предположим, ч_т ^2 х_г < v(I). Тогда разность а = v(I) — £] х_г будет положительной. Р^

смотрим п положительных чисел е\,..., е_п, для которых е\ Н------\-е_п ^ ₍₁

Распределение у = (yi,... ,у_п), где у» = х, + е,, более выгодно, чем р_а, пределение х, для всех игроков г € /; тем самым распределение х не буд_е1 удовлетворять условию оптимальности по Парето. Если же ^] ж_г > ^(J)

то такой вектор х не достижим для коалиции /. Таким образом, в это^ случае игроки «делят больше, чем имеют».

Определение. Вектор х £Ш^п, удовлетворяющий условиям ин­дивидуального, и коллективной рациональности, называется деле­жом в кооперативной игре {I,v).

Итак, при поиске оптимального исхода кооперативной игры (/, v) мы должны ограничиться только теми распределениями, ко­торые являются дележами. Рассмотрим вначале некоторые фор­мальные свойства дележей. Из условий (Л1) и (Л2) следует такое правило.

Правило 17.1. Для того чтобы вектор х — (х\,..., х_п) Е Ш^п был дележом в кооперативной игре (I,v), необходимо и достаточ­но, чтобы он был представим в виде

п

х_г = ь(1) + а_г, где а_г > 0, ^ а_г = v(I) - ^Г\(г). (17.9)

Пояснение. Числа а_г имеют прозрачную интерпретацию: a_t — это добавка игроку 1 к его гарантированной сумме v(i) при разде­ле «дополнительной прибыли», возникающей в результате коопера­тивного эффекта.

Приведем несколько следствий, вытекающих из правила 17.1.

Следствие 1. Всякая несущественная кооперативная игра имеет единственный дележ: х = (г>(1),... ,v(n)).

Таким образом, для несущественной игры проблема нахождения ее оптимального исхода решается тривиально: это ее единственный дележ. При этом каждый из игроков получает сумму, которую ой может обеспечить себе самостоятельно. Содержательно такой вы-

254

од очевиден: раз коалиция всех игроков не имеет дополнительной прибыли, то делить нечего.

Следствие 2. Всякая существенная кооперативная игра име-Ф бесчисленное множество дележей.

Следствие 3. Для кооперативной игры в 0 — 1-редуцированной §орме вектор х = (xi,..., х_п) 6 К^п является дележом тогда и

только тогда, когда х_г > О (г = 1,п), ^ ж_г = 1.

г=1

Таким образом, для игры в 0 — 1-редуцированной форме мно­жество ее дележей совпадает с множеством S_n n-компонентных ве­роятностных векторов. В этом случае содержательный смысл г-й компоненты вектора х — это доля г-ro игрока при распределении общей полезности, принятой за единицу.

5. Задача 23. Рынок трех лиц.

Рассмотрим классическую модель рынка, в которой участвует один продавец и два покупателя. Предположим, что у продавца име­ется неделимый товар (например, компьютер), который он оцени­вает в jo денежных ед., а первый и второй покупатели оценивают этот товар в q и г денежных ед. соответственно (считаем q < г). Необходимое условие участия всех троих в сделке — выполнение неравенств р < q и р < г.

Итак, р < q < г. Проанализируем эту ситуацию как игру, считая продавца игроком 1, первого покупателя — игроком 2 и второго покупателя — игроком 3. Характерной особенностью этой игры является возможность совместных действий игроков, т.е. возможность образования в ней коалиции (коалиция продавца с покупателем интерпретируется как сделка между ними).

Построим характеристическую функцию этой игры, рассматри­вая v(S) как гарантированную прибыль коалиции 5; при этом при­быль коалиции считается равной сумме прибылей всех ее участ­ников. Очевидно, что прибыль возможна лишь для коалиции, содержащей продавца, поэтому v(2) = t>(3) = г>({2,3}) = 0. Далее, v(l) = 0, так как продавец, действуя в одиночку, не может обес­печить себе никакой прибыли. Найдем теперь f({l,2}). Создание Коалиции {1, 2} означает, что игроки 1 и 2 вступают в сделку, т.е. продавец (игрок 1) продает товар первому покупателю (игроку 2). Сделка «устраивает» обоих игроков только в том случае, когда це­на продажи s заключена между р и q, т. е. р < s < q. В этом случае Прибыль продавца равна s — р (так как он оценивал свой товар

255

в рденежных ед., а получил s денежных ед.); прибыль первого ц₀ купателя равна q ~ s (так как он оценивал товар в q денежных ед а потратил на его покупку s денежных ед.). Общая прибыль коал^ ции {1,2} равна (s — р) -f {q ~ s) = q~p. Аналогично получаем. \щ общая прибыль коалиции {1,3} равна г — р.

Коалиция всех трех игроков {1, 2, 3} может интерпретироваться здесь как сделка всех троих, осуществляемая следующим образом игрок 3 покупает товар игрока 1 по цене s', где р < s' < г и раз. ность (г — s') игроки 2 и 3 делят между собой (т.е. игрок 3 отдаст часть своей прибыли игроку 2 за его «неучастие в покупке», что способствует снижению цены продажи товара). В этом случае об­щая прибыль коалиции {1,2,3} равна г —р. Окончательно получаем

«(1) = 1/(2) = и(3) = «({2, 3}) = 0, i/({l, 2}) = q-p_y u({l,3}) = t;({l,2,3}) = r-p.

Приведем эту игру к 0 - 1-редуцированной форме. Имеем

v*(l) = v*(2) = «*(3) - 0, «*({1,2,3» = 1, „V/1 <>\\ - ^t¹'²» - ^q ~^р _flv/i «Ш - "К¹'³» - 1

*^({1'^2}>-;^{ТД^-^' "«^и-^нтлз})-¹'

-do *\\ ^у({²'³}) п

Содержательно число v* (5) представляет собой отношение величи­ны кооперативного эффекта для коалиции S к величине коопера­тивного эффекта для коалиции {1, 2, 3} всех игроков.

Декция 18. Оптимальные исходы

_s кооперативных играх

i Отношение доминирования дележей и его простейшие свойства. t С-ядро. Критерий принадлежности дележа к С-ядру. Задача 24. Оптимальное распределение прибыли (кооперативное решение игры с разделением полезности). • Вектор Шепли, его аксиоматическое обоснование и явное выражение. • Вектор Шепли для простых игр. Задача 25. Оценка «силы» держателей акций.

1. Основной задачей данной лекции является обсуждение во­проса — какие исходы кооперативной игры следует рассматривать в качестве ее оптимальных исходов? Для кооперативной игры (/, v) будем интерпретировать число v(S) как некоторую полезность (на­пример, денежную сумму), которую коалиция S может гарантиро­ванно получить и затем распределить любым способом среди своих членов. Под исходом игры (/, v) понимается распределение между всеми ее игроками полезности v(I). Предварительные условия, на­кладываемые на такое распределение, состоят в том, что оно долж­но удовлетворять условиям индивидуальной и коллективной рацио­нальности, т.е. должно быть дележом (см. лекцию 17, п. 4). Однако в существенной кооперативной игре имеется бесконечное множес­тво дележей, поэтому следующий этап определения оптимального исхода кооперативной игры состоит в сужении множества дележей (ср. с определением оптимального исхода в задаче многокритери­альной оптимизации, лекция 5).

Сравнение дележей кооперативной игры проводится на осно­ве введения отношения доминирования дележей. Введем вначале следующее обозначение: для произвольной коалиции S С / и де­лежа х = (xi,... ,х_п) через x(S) будем обозначать общую сумму, Получаемую коалицией 5 в дележе х, т.е. x(S) = ^ х_г.

⁹РозенВ.В. 257

Определение. Говорят, что дележ у доминирует дележ х по коалиции S (записывается у y^s х), если:

(а) Уг > х_г для всех tЈ S;

(б) y(S) < г,(5).

Пояснение. Условие (а) означает, что для всех членов коалиции .Ь дележ у лучше, чем дележ х. Условие (б) выражает достижимость (реализуемость) дележа у для коалиции S.

Определение. Говорят, что дележ у доминирует де­леж х (записывается у У х), если существует непустая коа­лиция S С I, для которой у y^s х. Формально отношение У есть объединение отношений y^s по всем непустым коалициям S С I

Замечание Отношение доминирования дележей, вообще говоря, не является транзитивным^- из того, что х У у к у у 2, не следует, что х У z В то же время, может выполняться одновременно х У у v. у у х Дело здесь в том, что соотношения х У у и у У z могут осуществляться по разным коалициям

Установим теперь несколько простых свойств отношения доми­нирования дележей.

1°. Доминирование дележей по одноэлементной коалиции не­возможно.

2°. Доминирование дележей по коалиции I всех игроков невоз­можно.

3°. В игре двух лиц доминирование дележей невозможно.

Доказательство. 1) Предположим, что у у^г х. Тогда по условию доминирования (а) у_г > х_г; в то же время, согласно условию (б) должно быть у_г < и(г), откуда х_г < г;(г) в противоречие с тем, что вектор х является дележом.

2) Предположим, что у У¹ х. Тогда по условию (а) у_г > х_г для

всех гб/, откуда у(1) = ]Г у_г > £) х_г = х(1). Согласно условию

iei %Ђi

коллективной рациональности, для дележа y(I) = v(I), x(I) = v(I)

и получаем v(I) > v(I) — противоречие.

Свойство 3° непосредственно следует из свойств 1° и 2°.

Важным свойством эквивалентных кооперативных игр являет­ся наличие изоморфизма между их отношениями доминирования. Точнее, имеет место следующее утверждение.

258

Утверждение 18.1. Пусть v и v' — характеристические функ­ции над множеством игроков /, причем

1/(5) = Ь(5)+]Гс_г,

где S С /, к > 0. Тогда отображение х'_г — кх_г -f с_г (г = 1,п) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множес­твом дележей игры (I,v) и множеством дележей игры (I,v'), при котором из у X^s а; следует у? >~^s х'.

Замечание 1. Таким образом, для любой фиксированной коали­ции S указанное отображение осуществляет изоморфизм отношений до­минирования по коалиции S. Следовательно, данное отображение явля­ется также изоморфизмом отношений доминирования дележей.

Доказательство. Убедимся вначале, что вектор х' = = (х\,..., х'_п) является дележом. Используя, что х — дележ в игре (/, v), получаем

х'_г = кх_г 4- с_г > kv{i) + Сг = г/(г);

Итак, х' — дележ в игре (/, v'). Предположим теперь, что имеет место у y^s х, т.е. выполнены соотношения: у_г > х_г (г £ 5), y(S) < v(S). Проверим условия доминирования по коалиции 5 для пары (у',х').

(а) у'_г = ку_г + с_г> кх_г + с_г = х[ (г е 5);

(^б) J2vl=Yl(^kyi+Ct) ^{= k}lL,^{yi +} Yl^{Cl =}

= ky(S) +Y,^C^ ^kv(^S) + X ^с* = ^V'W-

Итак, t/ V^s х'. Взаимная однозначность отображения х -> .т' вытекает из существования обратного отображения (обратным бу-

Цет отображение х_г = -г¹ —_г).

Замечание 2. Утверждение 18 1 позволяет при рассмотрении от­ношения доминирования дележей переходить от заданной кооперативной

I»

259

игры к любой эквивалентной ей игре, в частности, для существенной игры — к ее 0 — 1-редуцированной форме.

2. Естественный путь сужения множества дележей основан на их сравнении, которое осуществляется на базе отношения домини­рования. Предположим, что игрокам / предлагается дележ х и в то же время существует такой дележ у, что у >~ х. Последнее означа­ет существование такой непустой коалиции SC/, что, во-первых, дележ у является более предпочтительным для всех членов коали­ции 5, чем дележ £, и, во-вторых, что дележ у может быть реа­лизован коалицией S независимо от действий остальных игроков. Поэтому попытка введения дележа х должна встретить противо­действие со стороны коалиции 5, имеющей «желание» получить у вместо х, а также возможность это желание осуществить. Из этих рассуждений можно сделать следующий вывод: предложение деле­жа х может быть принято всеми коалициями игры только тог­да, когда этот дележ не является доминируемым.

Определение. Множество не до минируемых дележей коопера­тивной игры называется ее С-ядром.

Следующая теорема характеризует дележи кооперативной игры, попадающие в ее С-ядро.

Теорема 18.1. Для того чтобы дележ: х кооперативной игры (/, v) принадлежа,л ее С-ядру, необходимо и достаточно, чтобы для любой коалиции S С I выполнялось равенство

x(S) > v(S). (18.1)

Доказательство. Достаточность. Предположим, что де­леж х не принадлежит С-ядру. Тогда существует такой дележ у. что у >-^s х для некоторой коалиции S С I. Согласно условию до­минирования (а),

а согласно условию доминирования (б),

V(S) < v(S).

Получаем x(S) < v(S), что противоречит (18.1). Таким образом, достаточность установлена.

260

261

Необходимость. Проведем вначале доказательство при дополни­тельном предположении: v{i) ~ 0 для всех г G /. Если для какой-дйбо коалиции S С I неравенство (18.1) не выполнено, то для нее _й#еет место неравенство x(S) < v(S).

Построим дележ у = (уь ..., у_п), полагая

(18.2)

(Смысл формулы (18.2) ясен. Положительная величина v(S) — x(S) делится игроками коалиции S поровну и добавляется к компонен­там «старого» дележа ж, в результате чего коалиция S имеет в сумме v(S); оставшаяся часть v(I) ~ v(S) делится поровну между игроками, не принадлежащими коалиции S.) Заметим, что постро­енный вектор у действительно является дележом, так как все его компоненты неотрицательны и их сумма равна v(I). Кроме того, выполняется у y^s ж, так как y_t > х_г для всех г Е S и y(S) < v(S). Итак, дележ х не принадлежит С-ядру, что доказывает необходи­мость.

Наконец, заметим, что дополнительное условие, наложенное на характеристическую функцию v, не нарушает общности рассужде­ния. Действительно, для выполнимости указанного условия доста­точно перейти к эквивалентной кооперативной игре с характерис­тической функцией

а воспользоваться замечанием 2 к утверждению 18.1. При этом надо Учесть, что неравенства (18.1) инвариантны относительно преобра­зования, переводящего игру {I,v) в эквивалентную игру (J, v°).

Система неравенств (18.1), определяющая С-ядро, задает не­который многогранник в множестве всех дележей (который иног­да может вырождаться в пустое множество). Рассмотрим подроб­ней, что представляет собой С-ядро кооперативной игры с малым Числом игроков. Напомним, что в игре двух лиц отношение до­минирования дележей пусто (см. свойство 3° в данной лекции), Поэтому принцип С-ядра имеет смысл для игр с числом игроков ⁷¹ ^ 3. Рассмотрим кооперативную игру трех лиц, заданную в

О— 1-редуцированной форме. В этом случае достаточно задать зна­чения характеристической функции для двухэлементных коалиций. Положим: и({1,2}) = с₃, и({1,3}) = с₂, г>({2, 3}) = с\. Так как для игры трех лиц в 0 — 1-редуцированной форме множество деле­жей есть множество вероятностных векторов вида (х!,Х2,Хз), где £ь ^2, жз ^ 0 и xi +X2 +я.з = 1, оно геометрически может быть пред­ставлено в виде треугольника М1М2М3, причем дележ (xi,X2,x₃) отождествляется с точкой М — х\М\ -\-x2M2 +Х3М3 этого треуголь­ника. По теореме 18.1 дележ (xi,x₂,x₃) принадлежит С-ядру тогда и только тогда, когда выполняется система линейных неравенств

(18.3)

Так как х\ = 1 — (хг + хз), то на основании (18.3) xi < 1 - С\\ аналогично, Х2 < 1 — С2, хз < 1 — сз- Построив прямые xi = 1 — Ci, Х2 = 1 — С2, хз = 1 — сз, получим искомое С-ядро, имеющее вид мно­гоугольника, содержащегося в треугольнике M\M₂Mz (некоторые варианты такого многоугольника представлены на рис. 18.1).

Рассмотрим теперь задачу экономического содержания, решение которой может быть получено с помощью нахождения С-ядра кооперативной игры. _Л

Задача 24. Оптимальное распределение прибыли [коопера­тивное решение игры с разделением полезности). Имеются три предприятия, специализирующиеся на выпуске комплектующих деталей А или В одинаковой стоимости, при­чем изделие собирается из одной детали А и одной детали В-Возможности предприятий по выпуску этих деталей приведены в табл. 18.1. Так как ни одно из предприятий не в состоянии само­стоятельно производить данное изделие, то они заключают меж*

262

ду собой договор с последующим распределением прибыли. Какое распределение прибыли между этими тремя предприятиями будет

оптимальным.'

Таблица 18.1

	А	В
1	900	0
2	600	0
3	0	1000

Рассмотрим описанный «производственный конфликт» как иг­ру трех предприятий {1, 2, 3}. Составим характеристическую функ­цию этой игры, значения которой интерпретируются как число из­делий, которое в состоянии произвести соответствующая коалиция. Так как ни одно из предприятий в отдельности, а также коали­ция предприятий 1 и 2 не в состоянии производить изделие, то и(1) = v(2) = v(3) = и({1,2}) = 0. Далее, предприятия 1 и 3 вмес­те могут произвести 900 изделий, следовательно, г>({1,3}) = 900; аналогично г>({2, 3}) = 600. Коалиция всех трех предприятий обес­печивает выпуск 1000 изделий, откуда г>({1, 2, 3}) = 1000.

Перейдем к 0 — 1-редуцированной форме игры; здесь

v*{S) =

v({l,2,3}) 1000'

v(S)

Находим: гЛ({1, 2}) = 0, v*({2, 3}) = 0, 6, v*({l, 3}) = 0, 9.

Согласно приведенному выше описанию С-ядра игры трех лиц, получаем, что в рассматриваемом случае С-ядро определяется системой неравенств:

%1 < 0,4, Х2 < 0,1, хз < 1.

(18.4)

Итак, оптимальным решением данной задачи, полученным на основе понятия С-ядра, будет любое распределение прибыли, при котором предприятие 1 получает не более 40% общей прибыли, предприятие 2 — не более 10% и предприятие 3 — все остальное. Всякое такое распределение будет устойчивым: никакая коалиция предприятий не сможет ему ему эффективно противодействовать.

И обратно, всякое распределение прибыли, не удовлетворяю­ще условиям (18.4), не будет устойчивым. Возьмем в качестве Примера такое распределение прибыли, при котором прибыль де­лится пропорционально числу деталий, которое предприятия в со­стоянии произвести. Соответствующий дележ задается вектором

263

(0,36,0,24,0,4), который не принадлежит С-ядру. Если буд_ет предложено указанное распределение прибыли, то предприятия и 3 смогут ему эффективно противодействовать с помощью объ. единения своих возможностей (т.е. создавая коалицию {1,3}). Дей­ствительно, так как г>*({1,3}) = 0,9, то в этом случае коалиция {1,3} получает 90% всей прибыли против 76% прибыли, имеющей­ся при дележе (0, 36, 0, 24, 0, 4).

Используя содержательную терминологию, можно сказать, что решение кооперативной игры, принадлежащее ее С-ядру, предохра­няет от «экономического сепаратизма», т.е. от возникновения коа­лиции, разрушающей предложенный исход игры.

Сделаем еще два замечания, относящихся к задаче 24.

Замечания. 1. Построенную в задаче 24 математическую модель конфликта в виде кооперативной игры можно считаться адекватной только в случае наличия возможности «разделения полезности» между предприятиями; например, такое разделение возможно, если полезность имеет денежный характер, но невозможно, если полезность представляет собой некоторый неделимый продукт. (Рекомендуем сравнить рассмат­риваемую задачу с задачей 22 оптимального распределения прибыли без ее разделения.)

2. Вопрос о выборе конкретного дележа из С-ядра (в случае его непус­тоты) остается открытым. Выбор единственного оптимального дележа из С-ядра требует дополнительной информации о свойствах оптималь­ного дележа. Здесь ситуация аналогична выбору оптимального исхода из множества Парето-оптимальных исходов для задачи многокритериаль­ной оптимизации (см. лекции 5-7).

3. Концепция оптимальности решения кооперативной игры, во­площенная в понятии С-ядра, обладает, при всей своей естествен­ности, рядом недостатков, одним из которых является то, что в не­которых играх С-ядро оказывается пустым. Поэтому в теории игр изучаются и другие принципы оптимальности исходов кооператив­ных игр. Важнейшим из них является принцип, предложенный аме­риканским математиком Л. Щепли; он основан на построении так называемого вектора Шепли.

Концепция оптимальности, предложенная Шепли, базируется на следующем подходе. Каждой кооперативной игре {/, v) ставится в соответствие тг-компонентный вектор Ф(г>) = (Ф\(ь),..., Ф_п(г;)), ^г"* компонента которого понимается как справедливый выигрыш, на^-значаемый игроку г в соответствии с его «вкладом» в игру. Та­ким образом, вектор Шепли можно рассматривать как «справеД'

264

_лцвое» распределение общей прибыли, полученной коалицией всех игроков в результате кооперативного эффекта (см. лекцию 17). Да­лее Шепли формулирует ряд аксиом, заключающих в себе опреде­ленное понимание «справедливого распределения полезности». Эти аксиомы (в эквивалентной формулировке) состоят в следующих требованиях.

(А1) Аксиома симметрии. Ф₇гг('^у) = $i{v) для любого авто­морфизма 7Г игры (I,v).

Пояснение. Под автоморфизмом игры (/, v) понимается такая пере­становка тг множества /, что v(irS) = v(S) для любой коалиции 5 С /. Аксиома симметрии выражает тот факт, что игроки, входящие в игру симметрично, должны получить одинаковые выигрыши.

(А2) Аксиома эффективности. ^ Ф_г(^) = ^и(-0-

Эта аксиома означает, что распределению подлежит вся сумма v(I); формально она выражает условие групповой рациональности исхода, т.е. его оптимальности по Парето.

(A3) Аксиома болвана. Если игрок г'о 6 / таков, что для любой коалиции S С / выполнено равенство v(S\J {?о}) — ^v(^)> ^т0

Пояснение. Игрок го, участвующий в формулировке аксиомы (A3), в теоретико-игровой терминологии называется болваном. Из свойства супераддитивности функции v сразу же следует, что v({ia}) —0. Таким образом, игрок го не может обеспечить себе никакого выигрыша и не вли­яет на выигрыши коалиций, к которым он присоединяется. Аксиома (A3) требует, чтобы игрок, являющийся болваном, ничего не получал при рас­пределении.

(А4) Аксиома агрегации (линейности). Если и и v — ха­рактеристические функции над множеством I, то для характе­ристической функции w = U + v выполняется равенство

Фг{ш) = Фг{и) +Фг(ь).

Смысл аксиомы агрегации состоит в том, что при участии игро­ка в двух играх (что соответствует сложению характеристических функций), его выигрыши должны складываться.

Отметим, что условия «справедливости» дележа, выражаемые аксиомами (А1)-(АЗ)., являются вполне приемлемыми с содержа­тельной точки зрения. Аксиома (А4) не столь естественна, как

265

предыдущие три аксиомы Тем не менее, справедлив следующиц результат, установленный Шепли в 1953г

Теорема 18.2. Существует и притом только одна функция ф удовлетворяющая аксиомам, (А1)-(Л4)

Вектор Ф(г') = (Ф1 (v), , Ф_п(г>)) называется вектором Шеп­ли для игры {/, v) Вектор Шепли является дележом игры {/, v) и в явном виде определяется равенством

(18 5)

Приведем одну интерпретацию компонент вектора Шепли Предварительно рассмотрим следующую комбинаторную задачу Зафиксируем игрока г € / и коалицию S С /, содержащую это­го игрока Найдем вероятность того, что в случайной перестановке элементов множества / все элементы множества S \ {г} окажутся до г, а все элементы множества I\S — после г (считаем все переста­новки равновероятными) Число интересующих нас перестановок по комбинаторному правилу произведения равно (\S\ — 1)'(п — \S\)\

а так как общее число всех перестановок есть п', то искомая вероят-

(|S|-l)»(n-|S|)'

ность равна ^—^-----—,-----—^- далее, будем считать, что «вклад»

п'

игрока г в содержащую его коалицию S равен v(S) — v(S \ {г}), а вероятность присоединения игрока г к коалиции S \ {г} совпадает с найденной выше вероятностью того, что в случайной перестанов­ке множества {1, п) игроками, оказавшимися в этой перестановке до г, будут точно все игроки из S \ {г} Тогда правая часть (18 5) представляет собой математическое ожидание выигрыша игрока г в условиях данной рандомизационной схемы

Наглядно указанную схему рандомизации можно представить следующим образом Предположим, что игроки 1,п прибывают к определенному месту друг за другом случайным образом Если игрок г, прибыв к указанному" месту, застанет там игроков S \ {г}, то он считается присоединившимся к коалиции S \ {г}, причем его «вклад» в эту коалицию будет равен тому дополнительному выигрышу, который он вносит в нее, т е v(S) — v(S \ {г}) Тогда Ф_г(г>) совпадает с математическим ожиданием (средним значением) выигрыша игрока г в условиях данной теоретико-вероятностной схемы

266

«?>»

Таким образом, получаем следующее правило подсчета компо-лент вектора Шепли

Правило 18.1. г-я компонента вектора Шепли Ф_г(г>) есть среднее арифметическое разностей v(S) — v(S \ {г}) по всевоз­можным перестановкам множества {1, п}, причем в каждой пере­становке в качестве коалиции S выступает множество игроков, расположенных в ней до индекса г

• Пример 18.1. Найдем с помощью правила 18 1 компонен­ты вектора Шепли для произвольной кооперативной игры трех лиц {1, 2, 3} с характеристической функцией г>, которая задана в О - 1-редуцированной форме Полагаем г>({1, 2}) = с₃, г>({1, 3}) = сг, и({2,3}) — с\ Для любой перестановки 7Г множества {1,2, 3} и фик­сированного индекса г = 1,2,3 положим

Ј^(%)^v{S)-v{S\{x})₁

где S — коалиция игроков, расположенных в перестановке п до индекса г включительно Составим табл 18 2, в которой указаны все перестановки 7Г игроков {1, 2, 3} и соответствующие им значения разностей Атг(1) По правилу 18 1 получаем

^ф1(^и) = g(2-2ci+c₂ + c₃) (*)

Циклируя в равенстве (*) индексы 1,2,3, приходим к следующей общей формуле

Ф_г(у) = ^(2 - 2с_г + с₃ + с*), (18 6)

где г, j, k — попарно различные индексы из {1,2,3}

Таблица 18 2

7Г	123	132	213	231	312	321
Д*(1)	0	0	сз	1-ci	С2	1-ci

Например, для игры рынка трех лиц (см задачу 23) согласно (18 6) находим

ф₁(_и) = 1(2-2с1+с_а + сз) = ^ + | |f|,

Ф₂(г,) = 1(2-.2с₂ + с_{1 +} с₃)=Л Јf|,

О I 6 Г — 7)

267

Итак, «справедливая» доля продавца составляет более полови­ны общей прибыли (что может быть объяснено его монопольные положением). С другой стороны, как нетрудно подсчитать,

ФзМ - *>(») = щ^.

Так как по условию р < q < г, то Фз(г>) > $2(^)> что согласуется со здравым смыслом: покупатель 2 обладает большей «конкурент­носпособностью», поэтому его доля общей прибыли должна быть большей, чем доля покупателя 1.

Замечание. Рассмотренные в данной лекции два принципа опти­мальности для кооперативных игр — С-ядро и вектор Шепли -— имеют разные «идейные основания». А именно, оптимальность, заключенная в понятии С-ядра, основана на идее устойчивости дележа, а оптималь­ность в форме вектора Шепли — на идее справедливости дележа. При этом устойчивость дележа определяется внутренним образом —- на языке отношения доминирования дележей; справедливость дележа постулиру­ется внешним образом в фо|)ме некоторой системы требований (аксиом). В общем случае вектор Шепли может не принадлежать С-ядру, т.е. ука­занные принципы оптимальности приводят к разным решениям.

4. В заключение рассмотрим полезный способ нахождения век­тора Шепли для кооперативных игр, характеристическая функция которых принимает только два значения: 0 и 1 (такие игры на­зываются простыми). Для простой игры (/, v) все ее коалиции 5С/, для которых v{s) — 1, называются выигрывающими. Ясно, что характеристическая функция простой игры полностью опре­деляется перечислением ее выигрывающих коалиций. Будем пред­полагать здесь, что коалиция, содержащая выигрывающую коали­цию, также является выигрывающей. Для простой игры разность v(S) — v(S\ {г}) будет равна 1 тогда и только тогда, когда S — вы­игрывающая коалиция, а 5\ {г} — еще не выигрывающая; во всех остальных случаях эта разность будет равна нулю.

Определение. Пусть 7Г — некоторая перестановка игроков {1,п}. Назовем игрока г ведущим в данной перестановке,

если коалиция игроков S \ {г], расположенных до него в этой перестановке, не выигрывающая, а коалиция S — выигрывающая. На основании правила 18.1 получаем следующее правило.

Правило 18.2. Для простой игры с характеристической функ­цией v ее i-я компонента вектора Шепли Фг(г>) есть отношение

268

числа перестановок, в которых игрок г является ведущим, к об­щему числу всех перестановок.

При небольших значениях п подсчет компонент вектора Шепли. основанный на правиле 18.2, удобно осуществлять следующим обра­зом. Выпишем все перестановки множества {1, п} и в каждой из них отметим ведущего игрока (единственного игрока, который «превра­щает» невыигрывающую коалицию игроков, стоящих в этой пе­рестановке до него, в выигрывающую). Подсчитывая для каждого фиксированного г число перестановок, в которых игрок г является ведущим, определяем г-ю компоненту вектора Шепли Ф»(г>). Исполь­зуем указанный прием для решения следующей задачи.

Задача 25, Оценка «силы» держателей акций.

Акции некоторой акционерной компании распределены между четырьмя акционерами, причем акционер 1 обладает 10% всех акций, акционер 2 — 20%, акционер 3— 30% и акционер 4 — 40%. На общем собрании акционеров решение принимается по правилу простого большинства (одна акция равна одному голосу). Найти оценку «силы» акционеров при данной схеме голосования.

Решение. Выпишем все перестановки игроков {1,2,3,4} и в каждой из них отметим ведущего игрока (т.е. игрока, присоедине­ние которого ко всем предыдущим «создает» более половины голо­сов, см. табл. 18.3).

Таблица 18.3

1234	1243	1342	2341
2314	2413	3412	«421
3124	4123	4132	4231
3214	4213	4312	4321
2134	2143	3142	3241
1324	1423	1432	2431

Находим:

игрок 1 является ведущим в двух перестановках;

игрок 2 является ведущим в шести перестановках;

игрок 3 является ведущим в шести перестановках;

игрок 4 является ведущим в десяти перестановках. По правилу 18.2 получаем:

$i(v)=-Ј, Ф₂(у) = -, Фз(1>) = £> $4(v) = j2-

269

Заметим, что вектор Шепли здесь не совпадает с вектором про­центного соотношения акций (т.е. «вес Щепли» для игрока не про­порционален числу его акций). Например, игрок 4 имеет вдвое больше акций, чем игрок 2, однако соотношение их весов Шепли равно yTj : | = 5 : 3. Еще более примечательным является сов­падение «сил» игроков 2 и 3. Хотя игрок 3 имеет в полтора раза больше акций, чем игрок 2, у игрока 3 нет никаких преимуществ перед игроком 2: оба являются ведущими в шести перестановках. Впрочем, совпадение «сил» игроков 2 и 3 видно уже из того фак­та, что они симметрично входят в выигрывающие коалиции данной игры. В самом деле, выигрывающими коалициями здесь являются: {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, (1,3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Переста-новка 7г, меняющая местами игроков 2 к 3, а всех остальных остав­ляющая на месте, сохраняет множество выигрывающих коалиций и, следовательно, является автоморфизмом построенной игры.

154