§ 4.2. Основные теоремы теории цепей

Принцип наложения

Сформулированный в гл. 1 принцип наложения (суперпозиции) отражает важнейшее свойство линейных электрических цепей.

Это свойство состоит в том, что реакция таких цепей на произвольное внеш­нее воздействие, представляющее собой линейную комбинацию более простых воздействий, равна линейной комбинации реакций, вызванных каждым из простых воздействий в отдельности.

Из принципа наложения следует, что ток или напряжение любой ветви линейной электрической цепи, содержащей наряду с пассивными элементами зависимые и независимые источники тока и напряжения, равны сумме частич­ных токов или напряжений, вызванных действием каждого независимого ис­точника в отдельности.

Пусть цепь содержит независимые источники только одного типа, например источники напряжения. Контурный ток произвольного кон­тура этой цепи может быть определен из выражения (4.14). Пред­ставляя все входящие в это выражение контурные э. д. с. Ёц в виде алгебраической суммы э. д. с. входящих в контур источников напря­жений £j и приводя подобные члены, получаем

Здесь N— общее количество независимых источников э. д. с., вхо­дящих в состав цепи; Y_hj — коэффициенты, представляющие собой алгебраические суммы слагаемых вида

Так как А и Д_гь определяются только параметрами матрицы кон­турных сопротивлений, т. е. параметрами пассивных элементов цепи и коэффициентами управления зависимых источников, то значения Y_hj не зависят от э. д. с. независимых источников напряжения. Каж­дое из слагаемых вида Y_h]Bj можно рассматривать как частичный ток й-ro контура, вызванный действием источника э. д. с. Ё_}.

Действительно, если все входящие в цепь независимые источники э. д. с., кроме Ёj, выключены (заменены короткозамыкающими пере­мычками), то ток k-ro контура

(4.26)

Следовательно, контурный ток любого контура линейной элек­трической цепи, содержащей независимые источники напряжения, равен сумме частичных токов, вызванных действием каждого из не­зависимых источников напряжения в отдельности:

N . n

(4.27)

Из анализа выражений (4.26), (4.27) вытекает физический смысл коэффициентов Y_hj — они представляют собой комплексные переда­точные проводимости цепи от зажимов /—/', к которым подключен не­зависимый источник напряжения Ё_}, к зажимам k—k', к которым под­ключена ветвь с током f_hh, причем каждая из комплексных переда­точных проводимостей определяется в режиме, когда все независимые источники напряжения, кроме Ё_}, выключены.

Если линейная электрическая цепь содержит независимые источ­ники тока, то используя выражение (4.23), можно показать, что узло­вое напряжение каждого узла такой цепи равно сумме частичных уз­ловых напряжений, вызванных каждым из источников тока в от­дельности. При определении частичного узлового напряжения 6-го узла, вызванного действием /-го источника тока, все остальные ис­точники тока выключаются, т. е. ветви, содержащие эти источники, разрываются.

Пусть в рассматриваемой цепи имеется I независимых источников напряжения и т независимых источников тока. Присвоим ветвям, содержащим независимые источники напряжения, номера от 1 до /, а ветвям, содержащим независимые источники тока, от / + 1 до / + /п. Составляя уравнения электрического равновесия такой цепи метода-

ми контурных токов или узловых напряжений и решая эти уравнения с помощью формул Крамера, находим ток и напряжение /г-й ветви

/ + т . i . 1~\- т

^Jk= 2 А⁷⁾ = 2 GkjJfi

/=» /=1 /=/+1

/= 1 1=1 /■=/+1

Здесь = G,_;j (/со), = /(,,,■ (/ю) — комплексные коэффициенты

передачи цепи по току и напряжению; Y_hj = У hi (/“). ^z«; = ^zhj (/“) — комплексные передаточные проводимости и сопротивления. Каж­дая из величин^;, /Си> и Z_h;-определяется в режиме, когда все независимые источники, кроме источника, находящегося в /-й ветви, выключены, т. е. представлены своими внутренними сопротивлениями.

На принципе наложения основан широко используемый на прак­тике метод анализа цепей — метод наложения. Его удобно применять в тех случаях, когда по условиям задачи требуется опре­делить ток или напряжение одной из ветвей электрической цепи, в со­став которой входит несколько независимых источников. В соот­ветствии с принципом наложения искомый ток (напряжение) пред­ставляют в виде суммы частичных токов (напряжений). Для опре­деления частичных токов (напряжений) используют эквивалентные схе­мы цепи, получаемые из исходной путем выключения всех независи­мых источников, кроме одного, вызывающего соответствующий ча­стичный ток (напряжение). Таким образом, задача анализа сложной цепи, содержащей несколько независимых источников энергии, за­меняется рядом более простых задач по исследованию цепей с одним независимым источником. Следует обратить внимание на то, что при определении частичных токов выключаются только'независимые источ­ники тока или напряжения. Параметры зависимых источников учи­тываются в матрице узловых проводимостей или контурных сопротив­лений и при определении частичных токов (напряжений) эти источ­ники не выключаются.

• ••••

Пример 4.8. Используя метод наложения, определим ток /₆ электриче­ской цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а.

В соответствии с принципом наложения представим ток 1_е в виде суммы двух частичных токов 1и l\.²\ вызванных действием источника напряже­ния Е и источника тока J соответственно. Эквивалентные схемы для определе­ния частичных токов приведены на рис. 4.9, а, б. Используя эквивалентные пре­образования участков цепей со смешанным соединением элементов, определим частичные токи:

/<’)= - Z₃E/[Z₂Z₃+(Z₂-+ Z₃) (Z₄+Z_e)j; — [Z, z₃+z₄ (z₂-j-z₃)] j/[z₂z₃+ (z₂+z₃) (Z₄-|-Z_e)],

а затем, суммируя их, найдем искомый ток

h = ^^,} + 4^2} = {[Z₂ Z₃+Z₄ (Z₂ + Z₃)] J-Z₃ £}/[Z₂ Z₃+ (Z₂ + Z₃) (Z₄+Z₆)].

Из полученных выражений видно, что комплексный коэффициент передачи рассматриваемой цепа по току от зажимов 5—5' к зажимам 6—Б' и комплекс­ная передаточная проводимость этой цепи от зажимов 1—1' к зажимам 6—6' (номера зажимов совпадают с номерами ветвей) равны соответственно:

(/ы) = [Z₂Z₃ i~Z_t (Z₂+Z₃)]_;[Z₂ZH-,(Z₂ + Z₃) (Z₄ + Z₆)J;

^6i (/&>) = —^Z₃/[Z₂_Z₃-(- (Z₂+_Z3) -

Метод наложения оказывается весьма эффективным и при анализе линейных цепей, находящихся под воздействием колебаний сложной формы. В этом случае сложное внешнее воздействие представляют в

виде конечной или бесконечной суммы колебаний более простой фор­мы, реакция цепи на воздействие которых может быть определена с помощью известных методов (подробнее см. гл. 6).

Необходимо отметить, что принцип наложения применим только для определения токов или напряжений линейной электрической цепи и не может быть использован для нахождения величин, которые не являются линейными функциями токов или напряжений. В частности, мощность, потребляемая каким-либо участком линейной электриче­ской цепи, находящейся под воздействием нескольких независимых источников, не равна сумме мощностей, потребляемых этим же уча­стком при воздействии каждого из независимых источников в отдель­ности .

Теорема взаимности

При изучении методов формирования уравнений электрического равновесия было установлено, что матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей линейных цепей, составленных только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока или напряжения, являются симметричными относительно глав­ной диагонали. Можно показать, что симметричность этих матриц не нарушится и в том случае, когда в цепи имеется произвольное количе­ство связанных индуктивностей. На симметричности матриц узловых проводимостей и контурных сопротивлений основано важное свойство линейных пассивных электрических цепей, которое формулируется в виде теоремы взаимности, или обратимости.

Рассмотрим линейную пассивную электрическую цепь, составлен­ную из сопротивлений, емкостей и индуктивностей (в том числе и связанных).

В соответствии с теоремой взаимности контурный ток &-го контура цепи, вызванный действием единственного независимого источника напряжения, по­мещенного в i-й контур, равен контурному току i-го контура, вызванному дей­ствием того же источника напряжения, перенесенного из i-ro контура в k-й.

Для доказательства теоремы выделим из рассматриваемой цепи главные ветви 6-го и i-ro контуров, а остальную часть цепи изобразим в виде четырехполюсника. Если независимый источник напряжения

ЮС

Рис. 4.10. К доказательству теоремы взаимности (внешнее воздейст­вие задано н виде источника напряжения)

Е помещен в г'-й контур (рис. 4.10, а), то в соответствии с выражением

14. контурный ток k-ro контура

4=Д_гг, Ё_Н/А = А_ШЁ/А. (4.28)

Аналогичным образом находим контурный ток г'-го контура, вы­званный действием того же источника напряжения Ё, перенесенного из ('-го контура в k-н (рис. 4.10,6):

/,,=Д_А|£**/Д=Д*, Ё/А. (4.29)

Выражения (4.28) и (4.29) отличаются только порядком индексов в алгебраических дополнениях А_;й и A_hi. Учитывая симметричность матрицы контурных сопротивлений рассматриваемой цепи относитель­но главной диагонали, нетрудно прийти к выводу, что A_ik = A_ki, а следовательно, I_hh -= 1_Н.

Теорема взаимности для случая, когда внешнее воздействие на цепь задается в виде независимого источника тока, может быть сформу­лирована следующим образом.

Если независимый источник тока J, подключенный к какой-либо паре за­жимов линейной пассивной цепи, вызывает на другой паре зажимов напряжение U (рис. 4.11, о), то этот же источник тока, подключенный ко второй паре за­жимов (рис. 4.11, б), вызовет на первой паре зажимов то же напряжение U.

Доказательство этой теоремы взаимности производится гак же, как это было сделано при питании цепи от независимого источника напряжения.

Если электрическая цепь удовлетворяет теореме взаимности (в любой формулировке), то говорят, что она обладает взаимно­стью (обратимостью). Электрические цепи, обладающие

взаимностью, называются взаимными (обратимы ми). Если электрическая цепь не обладает взаимностью, то она является н е- взаимной (необратимой). К необратимым цепям относят­ся, в частности, нелинейные цепи (элементы матриц контурных сопро­тивлений и узловых проводимостей таких цепей зависят от токов или напряжений ветвей) и цепи, содержащие зависимые источники (матри­цу контурных сопротивлений и узловых проводимостей таких цепей, как правило, несимметричны относительно главных диагоналей).

Рис. 4.11. К доказательству теоремы взаимности (внешнее воздейст­вие задано в виде источника тока)

Применение теоремы взаимности в сочетании с принципом нало­жения позволяет в ряде случаев существенно упростить определение тока или напряжения какой-либо ветви электрической цепи, содер­жащей несколько независимых источников напряжения или тока.

• ••••

Пример 4.9. Пусть, например, линейная электрическая цепь содержит N независимых источников напряжения Ё,, Ё₂, ..., £; Ё^, размещенных со­

ответственно в ветвях 1, 2, ..., i, N. Определим ток k-й ветви, не содержащей источников энергии. Найдем сначала токи ..., соответствен­

но 1, 2, ..., i, ..., N ветвей цепи, вызванные действием некоторого дополнитель­ного источника э.д.с. £*, помещенного в k-ю ветвь, при выключенных источниках Ё₂ Ёд,. Далее, в соответствии с теоремой взаимности найдем ча­

стичные токи П°. вызываемые в k-й ветви действием каждого из источников Ё i в отдельности. Если бы э.д.с. источника, расположенного в i-й ветви, была равна Еь, то согласно теореме взаимности частичный ток k-й ветви, /j^"\ вызван­ный действием источника, расположенного в i-й ветви, был бы равен i\^k\ Если Еi Ф E_h, то частичный ток k-й ветви вызванный действием э.д.с. Ё-_ь,

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

Таким образом, анализ сложной электрической цепи, содержащей N неза­висимых источников напряжения, свелся к определению токов N ветвей более про­стой цепи, содержащей один независимый источник напряжения.

Теорема компенсации формулируется следующим образом: токи и напряже­ния произвольной электрической цепи ие изменятся, если любую ветвь этой цепи заменить либо идеальным источником напряжения, э.д.с. которого равна напряжению данной ветви и направлена противоположно этому напряжению, либо идеальным источником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви и совпадает с ним по направлению.

Теорема компенсации базируется на общих свойствах основной системы уравнений электрического равновесия цепи и не накладывает ограничений на тип рассматриваемой цепи или характер внешнего воздействия. Рассмотрим, например, линейную электрическую цепь, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим в данной

С.) д)

Рнс. 4.12. К доказательству теоремы компенсации

цепи произвольную ветвь, комплексное сопротивление которой равно Z_k (рис. 4.12, а). Напряжение и ток этой ветви связаны уравнением,

составленным на основании закона Ома в комплексной форме U_h = = Z_hi_k. В соответствии с теоремой компенсации выделенную ветвь можно заменить либо идеальным источником напряжения, э. д. с: ко­торого равна напряжению данной ветви Ё — U_h — Z,i_h и направле­на навстречу этому напряжению (рис. 4.12, б), либо идеальным ис­точником тока, ток которого равен току рассматриваемой ветви j = = l_h = UjZh и совпадает с ним по направлению (рис. 4.12, в). Составляя основную систему уравнений электрического равновесия каждой из цепей (рис. 4.12, б, в), убедимся, что она совпадает с основ­ной системой уравнений электрического равновесия исходной цепи. Действительно, при формировании уравнений электрического равно­весия исходной цепи напряжение U_h = Z_hI_h на выделенной ветви учитывается со знаком плюс в левой части уравнений баланса напря­жений, составленных для контуров, содержащих рассматриваемую ветвь (предполагается, что направление обхода этих контуров совпа-. дает с направлением тока /_й). При составлении уравнений электричес­кого равновесия цепи (рис. 4.12, б) член U_h = Z_kI_h в левой части соответствующих уравнений отсутствует, однако в правой части этих уравнений появляется член —Ё — —U_h — —Z_k!_h. Следовательно, замена комплексного сопротивления Z_h идеальным источником на­пряжения Ё — Z_hf_h соответствует переносу члена Z_ht_k из левой час-

_ти уравнений баланса напряжений в правую с соответствующим из­менением знака.

При составлении уравнений электрического равновесия исходной цепи (рис. 4,12, а) ток I_k выделенной ветви учитывается в левой части уравнений баланса токов; соответствующие уравнения преобразован­ной цепи (рис. 4.12, в) вместо тока t_k, протекающего через комплекс­ное сопротивление Z_h, содержат равный ему ток J — l_k — U_k!Z__h идеального источника тока. Таким образом, цепи, схемы которых при­ведены на рисунке, являются эквивалентными.

Необходимо отметить, что источники напряжения и тока, заменив­шие в соответствии с теоремой компенсации сопротивление ветви Z_ft, зависимые: э. д. с. источника напряжения Е прямо пропорциональна

току ветви, содержащей этот источник, а ток источника тока J прямо пропорционален напряжению источника тока. Из эквивалентности испей следует, что идеальный источник напряжения, э. д. с. которого пропорциональна отдаваемому току (Ё — Z^l_k), и идеальный источ­ник тока, ток которого прямо пропорционален напряжению на зажи­мах источника (У = U_hIZ_h), могут быть заменены комплексным соп­ротивлением

Z_h = £//_h=&_h/y.

Теорема компенсации расширяет возможности эквивалентных пре­образований электрических цепей.

Автономные и неавтономные двухполюсники

Рассмотрим произвольный линейный двухполюсник, содержащий наряду с идеализированными пассивными элементами управляемые и неуправляемые источники тока или напряжения. Представляют ин­терес два предельных режима работы такого двухполюсника: режим холостого хода, когда ток внешних выводов двухполюсника равен нулю, и режим короткого замыкания, при ко­тором «апряжение между внешними выводами двухполюсника равно nyj?:o. Напряжение между выводами двухполюсника в режиме холос­того хода называется напряжением холостого ход ад а ток между выводами двухполюсника в режиме короткого замыка­ния — током короткого замыкания.

Двухполюсник, напряжение холостого хода или ток короткого замыкания которого не равны нулю, назовем автономным. Оче­видно, что автономный двухполюсник должен содержать один или не­сколько нескомпенсированных независимых источников, т. е. таких источников, сумма частичных реакций на воздействие которых на внеш­них зажимах двухполюсника не равна тождественно нулю.

Если напряжение холостого хода и ток короткого замыкания двух­полюсника тождественно равны нулю, то такой двухполюсник будем называть неавтономным. Неавтономный двухполюсник не мо­

жет содержать нескомпенсированных независимых источников, т. е. в его состав могут входить только идеализированные пассивные эле­менты и управляемые источники тока или напряжения. Таким обра­зом, активные двухполюсники могут быть автономными или неавто­номными, а пассивные двухполюсники представляют собой частный случай неавтономных.

Комплексным входным сопротивлением Z неавтономного двухполюсника называется отношение комплексной амплитуды напряжения на его зажимах к комплексной амплитуде тока (заметим, что данное ранее определение комплексного входного сопротивления пассивного двухполюсника естественным образом вы­текает из этого определения). Если неавтономный двухполюсник не содержит управляемых источников, т. е. является пассивным, то его комплексное входное сопротивление может быть найдено, например, путем постепенного сворачивания схемы двухполюсника с использо­ванием методов преобразования пассивных цепей. В общем случае комплексное входное сопротивление неавтономного двухполюсника находят методом пробного источника, в соответствии с которым к входу исследуемого двухполюсника подключают произ­вольный независимый источник напряжения или тока (пробный источ­ник) и определяют отношение комплексных действующих значений напряжения и тока на внешних зажимах двухполюсника.

• ••••

Пример 4.10. Определим комплексное входное сопротивление неавтономно­го двухполюсника, схема которого изображена на рис. 4.13, а (задачи такого типа часто встречаются на практике, например при определении комплексно­го входного сопротивления усилительного каскада на полевом транзисторе).

Рис 4 13 К примеру 4.10

Подключим к входным зажимам исследуемой цепи пробный источник напря­жения е ~ Ё (рис. 4.13, б) и найдем комплексное действующее значение вход­ного тока двухполюсника

I- /шС, Ё | /щС₂ (Е~ 0_С6).

Для определения комплексного действующего значения напряокения на ем­кости С₃ составим уравнение электрического равновесия цепи (рис. 4.13, б) по методу узловых напряжений

О я.

^ 1 iR ir /w C₃)

(1 IR -1 /<иС₂-1- ju>C₃) U_C3—ju)C₂t — — SE,

Таким образом, входной ток цепи прямо пропорционален э.д.с. пробного источника

j_/»[c_I+c.+ _ия'1^_+Сг) с,]*

и, следовательно, комплексное входное сопротивление двухполюсника не зависит от этой э.д.с.

2_ Е_ 1

/ . L . _г . -S —/о)С₂ I

L ²⁺1//?+/© (С,+С,) ²J

В области низких частот (со 0) входное сопротивление двухполюсника имеет емкостной характер

2 |_м-*о = ¹ / (/“> [^С1+С₂+RSCJ} = 1 / (/шС_зк), причем эквивалентная входная емкость двухполюсника

Сэк⁼^'1^_Ь(1 С₂.

Аналогичный результат получается и в том случае, когда в качестве проб­ного используют произвольный независимый источник тока j = J

Каждому автономному двухполюснику можно поставить в соот­ветствие некоторый неавтономный двухполюсник, который получает­ся из исходного путем выключения всех входящих в него независимых источников тока и напряжения. Комплексным входным сопротивлением автономного двухполюсни- к а называется комплексное входное сопротивление соответствующего ему неавтономного двухполюсника. Таким образом, комплексное входное сопротивление автономного двухполюсника может быть най­дено как отношение комплексной амплитуды напряжения к комплекс­ной амплитуде тока на зажимах неавтономного двухполюсника, кото­рый получается из заданного автономного двухполюсника путем вык­лючения всех входящих в него независимых источников тока и напря­жения. Комплексное входное сопротивление линейного автономного двухполюсника может быть также найдено как отношение комплекс­ных изображений напряжения холостого хода и тока короткого замы­кания этого двухполюсника.

• ••••

Пример 4.11. Определим напряжение холостого хода и_х, ток короткого замыкания i_K и комплексное входное сопротивление Z активного двухполюсника, схема которого приведена на рис. 4.14, а.

Для определения напряжения холостого хода двухполюсника и_х =?=■ со­ставим уравнение электрического равновесия рассматриваемой цепи по методу Узловых напряжений

(1IR ; /to С_;i) ycoCg ~ ,

откуда

j. /соС₂ S g

1//?-|-/<о (С₂+С₃)

где == е_г.

a) S) Рис. 4.14. К примеру 4.11 При коротком замыкании зажимов двухполюсника (рис. 4.14, б) выпол­няется соотношение /<оС2 iSf"! —f— /к = 0 и, следовательно, iк == /к = (/юС2 + S) Ёj. При выключении независимого источника э.д.с. ег двухполюсник превраща­ется в пассивный (рис. 4.14, в), поэтому его комплексное входное сопротивление Z определяется выражением	—II—	1,»	—с
) =	г II		fye, С

,^cz

1 //?-(- /ш (Cj -f- С₃)

Аналогичный результат получается и в том случае, когда комплексное вход­ное сопротивление рассматриваемого автономного двухполюсника определяется как отношение комплексных действующих значений напряокения холостого хода Uх и тока короткого замыкания 1_К.

Теорема об эквивалентном источнике

Рассмотрим линейную электрическую цепь, которая наряду с идеа^- лизированными пассивными элементами содержит управляемые и не­управляемые источники тока и напряжения. Выделим в этой цепи произвольную ветвь а—а' (рис. 4.15, а), а остальную часть цепи, к которой подключена эта ветвь, представим в виде автономного двух­полюсника АД.

В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике ток произвольной ветви линейной электрической цепи не изменится, если автономный двухполюс­ник, к которому подключена даннаа ветвь, заменить эквивалентным линеари­зованным источником энергии, который может быть представлен последователь­ной или параллельной схемой замещения. Э. д. с. идеального источника напря­жения в последовательной схеме замещения равна напряжению холостого хода

a h

а 1„

( УзЛ

Рис. 4.15, Теорема об эквивалентном источнике

"^x *,0 T^C/

Se,

автономного двухполюсника (рис. 4.15, б), ток идеального источника тока в параллельной схеме замещения равен току короткого замыкания автономного двухполюсника (рис. 4.15, в), а внутреннее сопротивление и внутренняя прово­димость эквивалентного источника равны соответственно комплексному вход­ному сопротивлению и комплексной входной проводимости автономного двух­полюсника.

Для доказательства теоремы введем в выделенную ветвь а—а' два вспомогательных независимых источника напряжения Ё_г и Ё₂, э. д. с. которых равны по значению, но противоположны по направле­нию (рис. 4.16, а). Очевидно, что введение двух скомпенсированных источников э. д. с. не нарушает режима работы цепи, поэтому ток вет-

а' а'

aI S) в)

Рис. 4.16. Включение в цепь двух скомпенсированных источников (а) и эквивалентные схемы для определения (б) и

ИД неавтономный, АД — автономный двухполюсники

ви а—а’ преобразованной цепи равен току /_а исходной цепи (см. рис. 4.15, а). Далее, используя принцип наложения, представим ток рассматриваемой ветви преобразованной цепи в виде суммы двух со­ставляющих /„ = /д¹’ + ia\ где /д¹’ — частичный ток а-й ветви, соз­даваемый действием независимого источника напряжения Ё_ъ и всех независимых источников, входящих в состав автономного двухполюсни­ка АД, а /а²⁾ —частичный ток а-й ветви, вызываемый действием неза­висимого источника напряжения Ё_г (рис. 4.16,6, в).

Из эквивалентной схемы, изображенной на рис. 4.16, б:

/<^I>=(^^1>-£i)/Z_a, (4.30)

где U^t_a¹⁾ — напряжение на зажимах а—а' автономного двухполюсни­ка в режиме, когда отдаваемый им ток равен 1а¹⁾ ■ До сих пор не на­кладывалось никаких ограничений на э. д. с. вспомогательных источ­ников напряжения. Выберем теперь Ё_г = Ё₂ таким образом, чтобы Ii¹’ = 0. Очевидно, что в этом случае напряжение на внешних зажи­мах АД равно напряжению холостого хода автономного двухполюс­ника и_х.

Используя выражение (4.30), найдем значение э. д. с. Ё_и при ко­тором частичный ток а-й ветви /£^1} = 0:

Ё₁ = Ё_г = О_х. (4.31)

Таким образом, если э. д. с. вспомогательных источников выбрать равными напряжению холостого хода автономного двухполюсника U_x, то ток ветви 1_а будет равен частичному току /„²⁾, создаваемому дейст­вием источника напряжения Ё₂ при выключении независимых источ­ников, входящих в состав автономного двухполюсника, и выключе­нии источника напряжения Ё_г.

Используя эквивалентную схему для определения частичного то­ка /£*\ находим

/_а = /‘²⁾ =0AZ_aa + Z_a)^E_w/(Z_,_K + ZJ, (4.32)

где Z_aa — комплексное входное сопротивление исходного автономно­го двухполюсника, равное комплексному входному сопротивлению приведенного на рис. 4.16, в неавтономного двухполюсника ИД. Как видно из выражения (4.32), ток а-й ветви исходной цепи (см. рис. 4.15, а) равен току некоторой цепи, содержащей помимо сопро­тивления Z_a источник напряжения Ё_ак = U_x и комплексное сопро­тивление Z_3K = Z_aa (см. рис. 4.15, б). Итак, ток выделенной ветви /_а не изменился при замене автономного двухполюсника эквивалентным источником энергии, э. д. с. которого равна напряжению холостого хода автономного двухполюсника, а внутреннее сопротивление — его комплексному входному сопротивлению.

Переходя от последовательной схемы замещения эквивалентного

источника к параллельной, можно показать, что значение тока У_эк независимого источника тока (см. рис. 4.15, в) равно току короткого замыкания автономного двухполюсника, а внутренняя проводимость У_эк — его комплексной входной проводимости Y_aa = 1/Z_aa.

Воспользовавшись теоремой об эквивалентном источнике, можно найти последовательную или параллельную схемы замещения любого сколь угодно сложного линейного активного двухполюсника, поэто­му данную теорему часто называют теоремой об активном двухполюснике. Эта теорема позволяет существенно упрос­тить анализ цепей, особенно в тех случаях, когда требуется опреде­лить ток или напряжение только одной ветви сложной цепи, содержа­щей большое количество управляемых и неуправляемых источников тока и напряжения. В связи с тем что параметры элементов последо­вательной и параллельной схем замещения активного двухполюсни­ка легко поддаются измерениям, выполняемым на внешних зажимах, теорему об эквивалентном источнике применяют и для построения эк­вивалентных схем активных двухполюсников по результатам их экс­периментального исследования.

• ••••

Пример 4.12. Используя теорему об эквивалентном источнике, определим ток /g цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а.

Выделим из рассматриваемой цепи ветвь, содержащую сопротивление Z$, и представим остальную часть цепи, которую можно рассматривать как авто­номный двухполюсник, последовательной схемой замещения (рис. 4.17, а). Э.д.с.

Z 2 2 г

64 6

О²-

■О-о

£0

6'

чз

б'

В)

Рис. 4.17.

К примеру 4.12

источника напряжения Е_эк определяется как напряжение холостого хода на зажимах автономного двухполюсника, схема которого приведена на рис. 4.17, б:

Ё_эк = U_x = {Zg Ё—[Z₂ Z₃-f-Z₄ (Z₂ + Z_s)] Z₃).

Zav~ Zf-f- Z₂Z₃/(Z₂-j-Z_s). юванную схему pai

[Z₂ Z₃-j-Z₄ (Z₂4-Z₃)] J Z₃E

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному со­противлению неавтономного двухполюсника (рис. 4.17, в):

Наконец, используя преобразованную схему рассматриваемой цепи (рис 4.17, а), находим искомый ток

Ze t Z_0K Z2 Z₃^(Z₂ UZ₃) (Z₄-r-Z₆)